Задача № 10. 10.1. По некоторой цели производятся два выстрела

10.1. По некоторой цели производятся два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна P. Рассматриваются две случайные величины: Х - число попаданий в цель, Y - число промахов. Составить таблицу распределения и определить числовые характеристики системы.

10.2. Случайная точка на плоскости распределена по закону, заданному таблицей:

Y X 0 1

-1 0,1 0,15

0 0,15 0,25

1 0,2 0,15

Найти числовые характеристики системы (X,Y).

10.3. Матрица распределения системы двух дискретных случайных величин(X,Y) задана таблицей: X Y 0 2 5

1 0,1 0 0,2

2 0 0,3 0

4 0,1 0,3 0

Найти числовые характеристики системы (Х,Y).

10.4. Изготовляемые в цехе втулки сортируются по отклонению их внутреннего диаметра от номинального размера на 4 группы со значениями 0,01; 0,02; 0,03 и 0,04 мм и по овальности на четыре группы 0,002; 0,004; 0,006;

0,008 мм. Совместное распределение диаметра (X) и овальности (Y) втулок задано таблицей (Табл.10.3):

Y Х 0,01 0,02 0,03 0,04

0,002 0,01 0,02 0,03 0,04

0,004 0,03 0,24 0,15 0,06

0,004 0,04 0,10 0,08 0,08

0,008 0,02 0,04 0,04 0,02

Найти числовые характеристики системы случайных величин .

10.5. Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух cлучайных величин (X,Y):

Y

X 20 40 60

10 3 0

20 2 4 2

30 2 5

Найти: .

10.6. Система (X,Y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей:

X 0 1 2 3 4 5 6

Y

0 0,202 0,174 0,113 0,062 0,049 0,023 0,004

1 0 0,099 0,064 0,040 0,031 0,020 0,006

2 0 0 0,031 0,025 0,018 0,013 0,008

3 0 0 0 0,001 0,002 0,004 0,011

Найти вероятность и корреляционную матрицу.

10.7. Однотипные детали в зависимости от точности изготовления различаются по форме на круглые и овальные, а по весу - на легкие и тяжелые. Вероятности того, что взятая наудачу деталь окажется круглой и легкой, овальной и легкой, круглой и тяжелой, овальной и тяжелой, соответственно равны . Взята одна деталь. Найти математические ожидания и дисперсии числа круглых деталей X и числа легких деталей Y, а также корреляционный момент k_xy между числом круглых и числом легких деталей, если = 0,40, = 0,05, = 0,10.

10.8. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна P. Случайные величины: X - число выстрелов до первого попадания (включительно), Y - число промахов. Необходимо: а) описать закон распределения случайного вектора (X,Y) и законы распределения каждой компоненты; б) вычислить вероятность P(X = Y);

в) вычислить коэффициент корреляции r_xy.; г) определить зависимы или неза-висимы компоненты X, Y.

10.9. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайные величины:

X - индикатор четности суммы выпавших очков (т.е. X = 1, если эта сумма четная, и X = 0 в противном случае), Y - индикатор четности произведения выпавших очков (т.е. Y = 1, если это произведение четно и Y = 0 в противном случае).

а) Описать закон распределения случайного вектора (X, Y).

б) Вычислить функцию распределения F(X, Y).

в) Вычислить корреляционный момент.

10.10. Число X выбирается случайным образом из множества целых чисел

. Затем из того же множества выбирается наудачу число Y, больше первого или равное ему.

а) Описать закон распределения случайного вектора (X,Y).

б) Определить, зависимы или независимы случайные компоненты X и Y.

в) Построить условный закон распределения компоненты X при условии, что Y приняло значение, равное 2.

г) Вычислить основные характеристики

10.11. Случайный вектор (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

_Y ^X 0 1

-1 0,1 0,2

0 0,2 0,2

1 0,1 0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию величины

10.12. В продукции завода брак вследствие дефекта A составляет 3 %, а вследствие дефекта B - 4,5 %. Годная продукция составляет 95 %. Найти коэффициент корреляции дефектов A и B. Указание. Ввести в рассмотрение случайную величину X = 1, если данное изделие обладает дефектом A и X = 0 в противном случае. Аналогично Y = 1; 0 в зависимости от того, обладает или нет это изделие дефектом B.

10.13. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два одиночных (независимых) выстрела каждый по своей мишени. Случайная величина X - число попаданий первого стрелка, Y - число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка P₁ = 0,7; для второго P₂ = 0,4. Построить матрицу распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y).

10.14. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу каждый по своей мишени. Случайная величина X - число попаданий первого стрелка. Y - число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка P₁ = 0,7, для второго P₂ = 0,4. Построить матрицу распределения вероятностей системы случайных величин (u,v), где

.

10.15. Система случайных величин (Х,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y X 0 1

-1 0,1 0,2

0 0,2 0,3

1 0 0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

10.16. Имеется система случайных величин (X,Y), где

и коэффициент корреляции . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

10.17. Случайные величины X и Y связаны соотношением , где - неслучайные величины . Найти: а) Коэффициент корре-ляции ; б) Отношение среднеквадратических отклонений .

10.18. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений шестерки, Y - число появлений нечетной цифры. Описать закон распре-деления случайного вектора (X, Y). Установить зависимы или независимы компоненты Х и Y.

10.19.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений единицы, Y - число появлений нечетной цифры. Описать закон распре-деления случайного вектора (X,Y). Вычислить основные характеристики случайного вектора: .

10.20. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений шестерки, Y - число появлений четной цифры. Описать закон распределения случайного вектора (X, Y). Описать условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 2 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание .

10.21. Совместное распределение (X,Y) задано формулами:

Найти одномерные распределения X,Y и распределения .

10.22. Совместное распределение задано формулами:

,

Найти совместное распределение случайных величин:

10.23. Совместное распределение (X,Y) задано формулами

Найти

10.24. Совместное распределение случайных величин определяется формулами

Найти Являются ли X,Yнезависимыми величинами?

10.25. Случайные величины независимы; Найти:

а) коэффициент корреляции величин Х₁+Х₂, Х₃+Х₄+Х₅; б) коэффициент корреляции величин Х₁+Х₂+Х₃, X₃+X₄+X₅ .

10.26.Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин (Х,Y):

X Y 2 4 6

1 l 3 0

2 4 2 2

3 5 2 l

Найти: а). , б). в). г) .

10.27. Система случайных величин (Х,Y)распределена по закону, выраженному таблицей:

Y X 0 1

-1 0,1 0,15

0 0,15 0,25

1 0,2 0,15

Описать условный закон распределения случайной величины Х, при условии Y = 0, при этом же условии вычислить условное математическое ожидание .

10.28. В таблице приведены данные о возможных сочетаниях отклонений длины валика (Х) и диаметра (Y) от номинальных размеров и соответствующие вероятности:

X Y	-1
-2	0,15	0,35	0,05
	0,10	0,25	0,10

Найти закон распределения случайной величины Z = X + Y и проверить справед-ливость формулы

10.29. Случайные величины независимы. По заданным законам распреде-ления случайных величин найти закон распределения системы случайных величин

X 1 2 3 Y 4 6 8 10

P 0,3 0,5 0,2 P 0,1 0,4 0,3 0,2

10.30. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: Х - число появлений шестерки, Y - число появлений нечетной цифры. Вычислить вероятности .