Множество положительности непрерывной функции

Пусть

непрерывная функция. Тогда множество

является борелевским.

Действительно, для любой точки x, в которой непрерывная функция положительна, найдется интервал, окружающий точку x, в котором эта функция также положительна. Для доказательства достаточно представить множество

в виде объединения всех таких интервалов с рациональными центрами.

Другие множества

Пусть

непрерывная функция.

Тогда множества

, , ,….

являются борелевскими.