2015-06-10
385
Функция действительного аргумента
назвается функция распределения, если она удовлетворяет следующим условиям
Важность функции распределения состоит в том, что каждой такой функции соответствует единственная вероятность P на борелевской сигма-алгебре прямой, для которой
и, наоборот, каждой вероятности на борелевской сигма-алгебре прямой соответствует некоторая функция распределения
Действительно, если P – вероятность, то функция, определенная по формуле
будет, очевидно, удовлетворять свойствам 1) и 2).
Свойства 3),4) следуют из свойства непрерывности вероятностной меры:
если
то
если
то
если
то
Для того, чтобы доказать обратное, заметим, что алгебра, состоящая из конечных объединений отрезков вида
порождает борелевскую сигма-алгебру. Функция
конечно аддитивна. Для того, чтобы воспользоваться теоремой Каратеодори, необходимо доказать ее счетную аддитивность (или непрерывность). А вот этого мы делать не будем, так как это обычно доказывается (или не доказывается в курсе функционального анализа). Тех, кто очень хочет прочитать доказательство счетной аддитивности этой функции, отправляем к книгам Боровкова и Ширяева (Дополнительная литература).
|
|
|
Если нам будет важно отметить, какая вероятность соответствует функции распределения F, будем отмечать это так
