Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, что необходимо вычислить вероятность не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

или .

Но вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха.

Т. Пусть , так, что . Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине , т.е.

¨ Положим . По свойству 1, ~ при фиксированном и при . Тогда

~ . (*)

В (*) мы использовали свойство и второй замечательный предел.

Для доказательства теоремы осталось в формуле (*) воспользоваться свойством 2. ¨

Таким образом, вероятность какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха приближенно равна:

. (4)

Формула (4) называется формулой Пуассона.

Замечание. Существуют специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти значения , зная и .

Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким событиям (, ).

Например: Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

§ По условию . Найдем :