Приближение гипергеометрического распределения биномиальным

Рассмотрим урну, содержащую шаров, из которых шаров — белые, а оставшиеся шаров — черные. Из урны наудачу (без возвращения) выбираются шаров. Вероятность того, что будет выбрано ровно белых и черных шаров, находится по формуле гипергеометрического распределения вероятностей:

Если число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трех шаров почти не меняет пропорцию белых и черных шаров в урне, так что вероятности не очень отличаются от вероятностей в процедуре выбора с возвращением:

О. Говорят, что последовательности и асимптотически эквивалентны, и пишут ~ , если при .

Свойство 1. Следующие последовательности асимптотически эквивалентны: ~ при .

¨ Рассмотрим отношение членов этих последовательностей

при .

поскольку предел произведения конечного числа последовательностей, сходящихся к 1, равен 1. ¨

Следствие. ~ при , ~ при .

Сформулируем и докажем нашу первую предельную теорему.

Т1. Если и так, что , то для любых фиксированных ,

¨ Воспользуемся свойством 1 и следствием из него:

~ .

Мы получили, что асимптотически эквивалентна выражению, сходящемуся к при . Осталось вспомнить свойство:

Свойство 2.

Пусть ~ и существует . Тогда существует и , и эти пределы совпадают: = . ¨