Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: и . Пусть вероятности и известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие и событие В. Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Т. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

. (6)

Замечание. .

Пример 1. В корзине 7 яблок, 3 груши и 4 апельсина. Наудачу взяли 3 раза по фрукту. Найти вероятность того, что фрукты были взяты в последовательности: яблоко, груша, апельсин.

§ , ,Þ .§

Пример 2.

1. Имеем 30 шаров: 15 кр, 7б, 4зел, 2с, 2ж. Найти

§ 1 способ: ;

2 способ: . §

2. Имеем 2 урны с шарами:

- 20, из них 11 окрашенных;

- 30, из них 21 окрашенных.

Взяли по одному шару из каждой урны. – «оба шара окрашены».

§ События – «из первой урны взяли окр.» и – «из второй урны взяли окр.» являются независимыми.

. §

3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания каждого стрелка , (, - вероятности промаха). Цель считается пораженной, если «хотя бы один из стрелков попал в цель» – событие С. Найти .

§ 1 способ:

.

1 способ: - противоположные события, образующие полную группу, следовательно,

, (5)

Þ . §

Пример 3. Бросаем одновременно две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет «герб»?

§ Полная группа событий:

А – на первой монете выпал «герб», а на второй «цифра»;

В – на первой монете выпала «цифра», а на второй «герб»;

АВ – на обеих монетах выпал «герб»;

– на обеих монетах выпала «цифра».

Нас интересует событие - хотя бы на одной монете выпадет «герб», противоположным к которому является событие , благоприятствовать которому будет исход . Следовательно,

. §

Вероятность хотя бы одного появления события А в n испытаниях.

Пусть - события, независимые в совокупности. – хотя бы одно из них.

Т. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

.

¨ Обозначим через событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . События и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

,

или

. ¨

Пример 4. В трех ящиках имеется по 10 деталей, причем в первом из них бракованных 2 детали, во втором – 1 деталь, а в третьем – 3 детали. Достают одновременно по 1 детали из каждого ящика. Найти вероятность того, что хотя бы одна из извлеченных деталей бракованная.

§ Введем обозначения:

;

;

.

Тогда . §

В частности, если имеется испытаний, вероятность появления события в каждом из которых одинакова и равна , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий вычисляется по формуле:

, (6)

где – вероятность противоположного к события.

Пример 5. Стрелок 4 раза стреляет по мишени (); вероятность попадания при каждом выстреле . Найти вероятность хотя бы одного попадания. § . §

Вывод: Часто удобнее вместо вероятности «хотя бы одного события» вычислять вероятность «ни одного события» и использовать формулу (5)

Формула полной вероятности .

Пусть событие может наступить лишь при появлении одного из событий – независимых, образующих полную группу и с известными вероятностями . - это гипотезы, так как заранее не известно, какое из этих событий наступило.

Т. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

¨ По условию, событие может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события теоремой сложения, получим

(*)

Каждое из слагаемых по теореме умножения вероятностей зависимых событий

.

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

или

(7) ¨

Таким образом, вероятность события , которое может произойти лишь при условии появления одного из нескольких событий (гипотез), несовместных, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность.

Формула (7) называется формулой полной вероятности.

Пример 6. Всего 35 экзаменационных вопросов. Студент знает 20. Что для него выгоднее: отвечать первым или вторым?

§ Событие – «взял «хороший» (выученный) билет».

Если он отвечает первым, то , если он отвечает вторым, то результат зависит от событий:

- «до него взят хороший билет», ;

- «до него взят плохой билет», ;

Причем . Найдем условные вероятности:

;

.

Сравниваем . Ответ: приблизительно одинаковы. §

Пример 7. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первого типа производят 94% деталей отличного качества, второго – 90% и третьего – 85%. Все произведенные в цехе за смену детали в нерассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 шт., второго – 3 шт., и третьего – 2шт.

¨ Рассмотрим событие - наудачу взятая деталь оказалась деталью отличного качества. Рассмотрим три гипотезы:

- наудачу взятая деталь произведена станками первого типа;

- наудачу взятая деталь произведена станками второго типа;

- наудачу взятая деталь произведена станками третьего типа.

Учитывая количественное соотношение станков в цехе и их одинаковую производительность, находим:

, , .

Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны

, , .

По формуле полной вероятности делаем расчет:

. ¨

Пример 8. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, наугад вынимают 2 шара и перекладывают в другую урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Какова вероятность иметь белый шар при случайном выборе одного шара из второй урны после перекладывания?

¨ Пусть событие - отбор белого шара. Рассмотрим гипотезы в соответствии с возможными результатами перекладывания:

- из урны наудачу взяты два белых шара;

- из урны наудачу взяты два черных шара;

- из урны наудачу взяты шары разных цветов;

причем, если учесть порядок извлекаемых шаров, то событие состоит из суммы события ЧБ – извлечение черного шара первым, а белого – вторым, и события БЧ – извлечение белого шара первым, а черного – вторым. Термин «наудачу» означает, что вероятность вынуть шар определенного цвета равна отношению числа шаров этого цвета к общему числу шаров в урне.

По формуле условной вероятности имеем:

- вероятность того, что второй шар белый, при условии, что первый был тоже белым;

- вероятность того, что второй шар черный, при условии, что первый был тоже черным;

- вероятность того, что второй шар белый, при условии, что первый был черным, или наоборот.

Условные вероятности события вычисляются в соответствии с числом белых шаров во второй урне после добавления в нее двух шаров из первой урны:

- вероятность того, что взят белый шар из второй урны, при условии, что из первой во вторую урны переложили два белых шара;

- вероятность того, что взят белый шар из второй урны, при условии, что из первой во вторую урны переложили два черных шара;

- вероятность того, что взят белый шар из второй урны, при условии, что из первой во вторую урны переложили шары разных цветов.

Тогда по формуле полной вероятности

. ¨