Формула Байеса. Пусть имеется полная группа несовместных гипотез

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез . Известны вероятности каждой из гипотез: . Производится опыт и в его результате осуществляется некоторое событие , вероятности которого по каждой гипотезе (условные вероятности) известны. Вопрос: Какие вероятности имеют гипотезы в связи с появлением события ?

Т (формула Байеса: Thomas Bayes).

Условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , равна

. (1)

¨ По определению условной вероятности, , где - полная вероятность, а , так как события зависимы. ¨

Замечание. Вероятности часто называют априорными вероятностями группы гипотез , в то время как условные вероятности – апостериорными, т.е. полученными после дополнительного эксперимента, в котором произошло событие . В связи с этим формула Байеса называется также формулой обновления априорных вероятностей.

Рассмотрим примеры на применение формулы гипотез.

Пример 9. В трех ящиках находятся однотипные изделия: в первом 10 изделий, из них 3 нестандартных, во втором 15 изделий, из них 5 нестандартных, в третьем 20 изделий, из них 6 нестандартных. Наудачу выбирается одно изделие, и оно оказалось нестандартное. Определить вероятность того, что взятое изделие принадлежало второму ящику.

¨ Введем обозначения гипотез:

- наудачу взятое изделие принадлежало первому ящику;

- наудачу взятое изделие принадлежало второму ящику;

- наудачу взятое изделие принадлежало третьему ящику.

В результате испытания наблюдается событие - наудачу выбранное изделие является нестандартным. Условные вероятности этого события при гипотезах соответственно равны:

, , .

По формуле (18) находим вероятность гипотезы после испытания:

. ¨

Пример 10. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар. Требуется найти:

а) вероятность того, что этот шар белый.

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

¨ а) Введем обозначения событий: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы: – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, – переложены 2 разноцветных шара, – переложены 2 черных шара. Тогда по формуле (17)

,

где вероятности гипотез и условные вероятности вычисляем по классической схеме:

, , ,

, , .

Делаем расчет: .

б) Вероятность того, что шар оказался белым, находим по формуле Байеса:

.

Пример. Вероятность удовлетворять стандарту для изделий некоторого производства равна 0,9. Предлагается упрощенная схема проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,95 для изделий, удовлетворяющих стандарту, и с вероятностью 0,15 для изделий, не удовлетворяющих стандарту. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

§ Обозначим: - «изделие будет признано при проверке стандартным», гипотезы: - «изделие удовлетворяет стандарту», ; - «изделие не удовлетворяет стандарту», .

По условию , . Требуется найти условную вероятность . По формуле (1) получаем

.

Это означает, что на каждую сотню принятых деталей стандартных будет примерно 98.