Л-12. Система случайных величин

Совместное рассмотрение двух или нескольких СВ приводит к системе СВ (ССВ).

Опр. Законом распределения ССВ называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений ССВ и вероятностями появления системы в этих областях.

Рассмотрим систему двух СВ (СДСВ). Пусть и - ДСВ, возможные значения которых . Тогда распределение системы таких СВ может быть охарактеризовано указанием вероятностей того, что СВ примет значение и одновременно с этим СВ примет значение . Вероятности сводятся в таблицу вида

			…
			…
			…
	…	…	…	…
			…

Все возможные события составляют полную группу несовместных событий, поэтому .

При этом

;

.

Опр. Функцией распределения СДСВ называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , т.е.

(1)

Геометрически ФР СДСВ представляет собой вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке :

Такая геометрическая интерпретация позволяет наглядно иллюстрировать следующие свойства ФР СДСВ:

1. Если один из аргументов стремится к , то ФР системы стремится к ФР одной СВ, соответствующей другому аргументу, т.е.

; . (рис. 1б и в)

►Отодвигая одну из границ квадранта в , квадрант превращается в полуплоскость. Вероятность же попадания случайной точки в такую полуплоскость есть функция распределения одной из величин, входящих в систему. ◄

2. Если оба аргумента стремятся к , то ФР системы стремится к единице, т.е.

.

► Попадание во всю плоскость есть достоверное событие.◄

3. При стремлении одного или обоих аргументов к ФР стремится к нулю, т.е.

.

4. ФР является неубывающей функцией по каждому аргументу, т.е

, если ;

, если .

5. При ФР системы становится ФР составляющей :

,

а при ФР системы становится ФР составляющей :

.

6. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле

. (2)

Опр. Плотностью распределения системы непрерывных СВ называется функция

(3)

Из (1) и (3) следует, что ФР есть вероятность попадания в квадрант, ограниченный абсциссами , и ординатами , , поэтому

(4)

Свойства плотности распределения СДСВ.

1. ПР есть функция неотрицательная, т.е. .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы равен единице:

.