Плотности распределения составляющих системы двух СВ (СДСВ)

Пусть известна ПР СДСВ. Используя формулу (4) представим ФР составляющих и в виде:

;

.

Дифференцируя равенства по соответствующим переменным, получим выражения для плотностей распределения составляющих:

;

.

Таким образом, чтобы получить ПР одной из величин, входящих в систему, нужно ПР системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой СВ.

Обратная задача: по известным законам распределения отдельных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. Если СВ и зависимы между собой, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения составляющих. Это приводит к необходимости введения условных законов распределения.

Опр. Распределение одной СВ, входящей в систему, найденное при условии, что другая СВ,, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как ФР, так и ПР. Условная ФР - , условная ПР - .

(5)

- ПР величины , при условии, что величина приняла определенное значение. Аналогично

(6)

- ПР величины , при условии, что величина приняла определенное значение.

Из соотношений (5) и (6) следует, что

. (7)

Равенство (7) называют теоремой умножения законов распределения.

Условная ПР обладает всеми свойствами безусловной ПР. В частности,

, .

Для краткого описания условных законов распределения мы можем использовать различные характеристики, например, условное МО (УМО):

Опр. УМО ДСВ , при условии, что величина приняла определенное значение , называется сумма возможных значений на их условные вероятности:

.

Для НСВ:

,

где - условная ПР величины при .

Аналогично, УМО ДСВ , при условии, что величина приняла определенное значение , называется сумма возможных значений на их условные вероятности:

.

Для НСВ:

,

где - условная ПР величины при .

Из определения УМО следует, что с изменением значения будет меняться и . Это значит, что мы можем рассматривать функцию , областью определения которой является множество возможных значений СВ . Эта функция носит название регрессии по .

Аналогично, УМО является функцией , которая носит название регрессии по .

Уравнения

и (8)

называются уравнениями регрессии соответственно по по и по . Линии, определяемые уравнениями (8), называются линиями регрессии. Эти линии вводятся лишь для НСВ (для ДСВ эти «линии» будут состоять из изолированных точек плоскости).