Локальная теорема Лапласа

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то вер-ть P_n(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению ф-ии:

Значения ф-ии фи(х) для положительных х приведены в специальных таблицах. Для отрицательных значений аргумента исп. те же таблицы, т.к. ф-ия фи(х) четная. (фи от –х= фи от х)

Интегральная теорема:

Для того, чтобы посчитать вер-ть наступления не более чем m успехов, когда n велико, прим интегральную теорему Лапласа: =

Замечание:ф-ия для Ф=2/2корня из пи...(в таблице). При Ф=1/2корня из пи.. 1/2 перед формулой убирается.

Осн. св-ва ф-ии Лапласа:

1.Ф(0)=0

2.Ф()=0,5

3.Ф(-t)=-Ф(t)

Для ф-ии Лапласа также есть таблицы ее значений. В таблице даются значения для . Для отр. знач. t исп св-во нечетности ф-ии, т.е. Ф(-t)=-Ф(t)

Если t 5, то Ф(t)=0,5, для любого t 5.

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при np>=10. Чем ближе значения p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).