Формула Пуассона

Если вер. события p в отд. испытании близка к 0, то даже при большом числе испытаний n, но небольшой величине вероятности , получен. по лок. формуле Лапласа недостаточно близки к их ист. знач.м. В таких случаях применяют формулу Пуассона. Теорема: Если вер. p наступления соб. А в кажд. исп постоянна, но близка к 0, число независим. Исп. n достаточн. велико, а , то вер. того, что в n независ. испытаниях соб. А наступит m раз . Это формула Пуассона. Док-во: Для вычисления вер. воспользуемся ф. Бернулли:

(Т.к. ,то )= Т.к. по условию n велико, то найдем предел правой части последн. равенства при , при этом будет получено приближен. значение вер.: = = = = Пределы всех скобок, кроме предпоследн. равны 1 при . Сл-но вер. того, что в n исп. соб. появится m раз . Замечание: Ф. Пуассона обычно используют, когда , а .