Неравенство Чебышева

Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».

Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием(м.о.) m_x и D_x. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше чем на α, ограничена сверху вел-ной D_x/ α²: P(|X - m_x |≥α)≤ D_x/ α². Док-во: Пусть вел-на Х прерывная, с рядом распр.:

Изобразим возм. знач. вел-ны Х и ее м.о m_x в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше, чем на α: P(|X - m_x |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки m_x вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вер. (1) есть не что иное, как вер. того, что случ. точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - m_x |≥α) = P(XËAB). Для того, чтобы найти эту вер., нужно просуммировать вер. всех тех знач. Х, кот. лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - m_x |≥α) = - формула (2), где запись |X - m_x |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те знач., для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии вел-ны Х: D(X) = M[(X - m_x)²] = - формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все знач. Х, а только на некоторые, в частности на те, кот. лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ . Заменим под знаком суммы выражение |X - m_x | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - m_x |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшиться; значит, D(X) ≥ . Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вер. попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α²P(|X - m_x |≥α), откуда непосредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда вел-на Х непрерывна, док-во проводится аналогичным образом с заменой вер. p элементом вер., а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - m_x |>α) = , где f(x) – плотность распр. вел-ны Х. Далее, имеем: D(X) = ≥ , где знак |X - m_x |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - m_x | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥α²* = α²P(|X - m_x |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.