Связь теории вероятностей с предшествующими дисциплинами
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» опирается на материал, излагаемый в курсах «Математический анализ», «Алгебра и геометрия», «Дискретная математика», и «Теория функций комплексной переменной и спецфункции» и поэтому предполагается, что по этим курсам студенты имеют достаточно хороший уровень знаний.
Связь с последующими дисциплинами
Знания и навыки, полученные студентами при изучении курса «Теория вероятностей и математическая статистика», далее используются при изучении дисциплин: «Теория случайных процессов», «Теория информации», «Планирование эксперимента и статистический анализ», «Теория цифровой обработки сигналов», «Методы распознавания образов», а также при выполнении выпускных квалификационных работ специалиста, бакалавра и магистра.
Учебно-методическое обеспечение
Основная литература
1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1987 г. и др. издания (гриф Минобразования России).
|
|
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986 г. и др. издания (гриф Минобразования России).
3. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 2004 г. и др. издания (гриф Минобразования России)
4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматлит, 2006 г. (гриф Минобразования России).
5. Теория вероятностей. Под ред. Зарубина В.С., Крищенко А.П. Учебник для втузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 г. (гриф Минобразования России).
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2002 г. и стереотипные издания 1991, 1985 г.г. (гриф Минобразования России).
7. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004 г. и др. издания (гриф Минобразования России).
8. Коломиец Э.И., Дегтярев А.А. Сборник задач по теории вероятностей. Учебное пособие. Изд-во СГАУ, 2006 (гриф УМС по прикладной математике и информатике).
Дополнительная литература
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 2002 г. (и др. издания).
4. Мынбаева Г.У., Дмитриев И.Г., Борисов В.З., Савин А.С. Теория вероятностей в примерах и задачах. М.: Вузовская книга, 2005 (гриф НМС по математике и механике).
5. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. М.: Высшее образование, 2005 (МАИ).
6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. Свешникова А.А. М.: Наука, 1970 г. (и др. издания).
Глава 1. Элементарная теория вероятностей
1.1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент
До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были, так называемые, детерминированные эксперименты, в которых условия проведения эксперимента однозначно определяют его исход. Однако для широкого круга явлений, наблюдается неоднозначность исхода при сохранении условий эксперимента.
|
|
Эксперимент, результат которого варьируется при его повторении, называется экспериментом со случайным исходом или случайным экспериментом. Всякий факт, который может произойти в результате случайного эксперимента и его появление не может быть наперед предсказано, называется случайным явлением или случайным событием.
Приведем примеры случайных экспериментов.
1. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты закруткой. Наблюдается грань, выпавшая к верху. Всего у эксперимента два исхода: Г (герб), Р (решка). Ни один из исходов не может быть наперед предсказан. Эксперимент случайный.
2. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости. Наблюдается грань, выпавшая к верху. Эксперимент случайный. Всего исходов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
3. Монета подбрасывается закруткой 2 раза (или, что эквивалентно, две монеты один раз). Наблюдается выпавшая к верху грань. Эксперимент случайный. Его исходы можно записать следующим образом: (ГГ), (ГР), (РГ), (РР). Всего исходов четыре.
4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Исходами данного случайного эксперимента являются: Г, (РГ), (РРГ),…, (РР…РГ),…. Число исходов эксперимента бесконечно, но счетно.
5. Эксперимент состоит в стрельбе по плоской мишени. Результат – попадание в некоторую точку плоскости с декартовыми координатами . Так как заранее координаты предсказать невозможно, то эксперимент случайный. Число исходов эксперимента бесконечно и несчетно.
Приведенные примеры показывают, что разнообразие случайных экспериментов достаточно велико и также разнообразна структура их исходов.
Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности случайных явлений. При этом между закономерностью и случайностью не возникает противоречия, поскольку теория вероятностей занимается изучением не любых случайных явлений, а только тех из них, которые обладают следующими свойствами:
1. Случайные явления в принципе могут быть наблюдаемы неограниченное число раз, притом в неизменных условиях.
2. Случайные явления должны обладать свойством статистической устойчивости или, иначе, устойчивостью частот.
Подробнее свойство 2 означает следующее. Предположим, что производится последовательность случайных экспериментов, в каждом из которых возможно появление некоторого события A. Эксперименты проводятся в одинаковых условиях и результаты одних экспериментов не влияют на результаты других (в этом случае говорят, что эксперименты независимы). Пусть - число появлений события А в некоторой серии из n экспериментов. Тогда относительная частота при больших n для статистически устойчивого события А близка к некоторой константе и лишь незначительно изменяется от одной серии из n экспериментов к другой. Число служит объективной характеристикой степени возможности событию А произойти. (Проверка свойства статистической устойчивости представляет собой довольно сложную задачу и мы сможем решить ее только в следующем семестре при изучении теоремы Бернулли).
Свойства 1 и 2 называются свойствами массовости. Закономерности, устанавливаемые в теории вероятностей для случайных событий, удовлетворяемых свойствам массовости, тем строже и точнее, чем обширнее массив изучаемых событий. При очень большом числе таких событий случайность и непредсказуемость практически исчезают.
Одно же отдельное случайное событие остается в своём результате неопределенным и непредсказуемым и не является предметом изучения теории вероятностей. Так, событие А= {Студент сдаст экзамен по теории вероятностей на ближайшей сессии} не является случайным с точки зрения теории вероятностей, так как отсутствует возможность его повторения неограниченное число раз и притом в неизменных условиях.
|
|