2015-06-10
14174
Зависимость событий понимается в вероятностном смысле, а не в функциональном. Это значит, что по появлению одного из зависимых событий нельзя однозначно судить о появлении другого. Вероятностная зависимость означает, что появление одного из зависимых событий только изменяет вероятность появления другого. Если вероятность при этом не изменяется, то события считаются независимыми.
Определение: Пусть 
- произвольное вероятностное пространство, 
- некоторые случайные события. Говорят, что событие А не зависит от события В, если его условная вероятность 
совпадает с безусловной вероятностью 
:
.
Если 
, то говорят, что событие А зависит от события В.
Понятие независимости симметрично, то есть, если событие А не зависит от события В,то и событие В не зависит от события А. Действительно, пусть . Тогда 
. Поэтому говорят просто, что события А и В независимы.
Из правила умножения вероятностей вытекает следующее симметричное определение независимости событий.
Определение: События А и В, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми, если
.
Если 
, то события А и В называются зависимыми.
Отметим, что данное определение справедливо и в случае, когда 
или 
.
Свойства независимых событий.
1. Если события А и В являются независимыми, то независимыми являются также следующие пары событий: 
.
▲ Докажем, например, независимость событий 
. Представим событие А в виде: 
. Поскольку события 
являются несовместными, то 
, а в силу независимости событий А и В получаем, что 
. Отсюда 
, что и означает независимость . ■
2. Если событие А не зависит от событий В1 и В2, которые являются несовместными (
), то событие А не зависит и от суммы 
.
▲ Действительно, используя аксиому аддитивности вероятности и независимость события А от событий В1 и В2, имеем:
. ■
Связь между понятиями независимости и несовместности.
Пусть А и В - любые события, имеющие ненулевую вероятность: 
, так что 
. Если при этом события А и В являются несовместными (
), то 
и поэтому равенство 
не может иметь место никогда. Таким образом, несовместные события являются зависимыми.
Когда рассматривают более двух событий одновременно, то попарная их независимость недостаточно характеризует связь между событиями всей группы. В этом случае вводится понятие независимости в совокупности.
Определение: События 
, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми в совокупности, если для любого 2 £ m £ n и любой комбинации индексов 
справедливо равенство:
.
При m = 2 из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное неверно.
Пример. (Бернштейн С.Н.)
Случайный эксперимент заключается в подбрасывании правильного четырехгранника (тетраэдра). Наблюдается грань, выпавшая книзу. Грани тетраэдра окрашены следующим образом: 1 грань - белая, 2 грань - чёрная,
3 грань - красная, 4 грань - содержит все цвета.
Рассмотрим события:
А = {Выпадение белого цвета}; B = {Выпадение черного цвета};
C = {Выпадение красного цвета}.
Тогда 
;
.
Следовательно, события А, В и С являются попарно независимыми.
Однако, 
.
Поэтому события А, В и С независимыми в совокупности не являются.
На практике, как правило, независимость событий не устанавливают, проверяя ее по определению, а наоборот: считают события независимыми из каких-либо внешних соображений или с учетом обстоятельств случайного эксперимента, и используют независимость для нахождения вероятностей произведения событий.
Теорема (умножения вероятностей для независимых событий).
Если события ,определенные на одном и том же вероятностном пространстве , являются независимыми в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:
.
▲ Доказательство теоремы следует из определения независимости событий в совокупности или из общей теоремы умножения вероятностей с учетом того, что при этом
.■
Пример 1(типовой пример на нахождение условных вероятностей, понятие независимости, теорему сложения вероятностей).
Электрическая схема состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов соответственно равны 
.
1) Найти вероятность отказа схемы.
2) Известно, что схема отказала.
Какова вероятность того, что при этом отказал:
а) 1-й элемент; б) 3-й элемент?
Решение. Рассмотрим события 
= {Отказал k -й элемент}, 
и событие А = {Отказала схема}. Тогда событие А представляется в виде:
.
1) Поскольку события 
и 
несовместными не являются, то аксиома аддитивности вероятности Р3) неприменима и для нахождения вероятности 
следует использовать общую теорему сложения вероятностей, в соответствии с которой
.
Используя далее независимость событий , , имеем
.
2) Если уже известно, что схема отказала, то для нахождения вероятности отказа при этом 1-го элемента необходимо определить условную вероятность 
. По определению условной вероятности и с учетом того, что 
, получаем:
.
Поскольку 
, то условная вероятность 
находится несколько иначе:
.
Пример 2.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,9. Сколько надо сделать независимых выстрелов, чтобы поразить цель с вероятностью не менее, чем 0,9999?
Решение. Пусть n – число сделанных выстрелов, событие = {Попадание в цель при k- м выстреле}, 
, событие А = {Поражение цели}. Очевидно, что 
, но поскольку события , не являются попарно несовместными, то для нахождения вероятности 
следует использовать теорему сложения вероятностей в общем виде.
Удобнее перейти к противоположному событию и использовать свойство 1 независимых событий:
Разрешая полученное неравенство 
относительно n, получаем, что 
.
