Независимость событий

Определение. Вероятность события при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события и обозначается: или .

Условные вероятности определяются формулами:

, , где , .

Определение. События А и В называются независимыми, если условная вероятность события А, при условии, что событие В произошло, равна безусловной вероятности этого события: . Аналогично, .

Теорема 1 (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного их них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

.

Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: .

Это утверждение иногда принимают за определение независимых событий.

Теорема 2. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного их них на условные вероятности всех остальных в предположении, что все предыдущие события наступили:

.

В частности, для трех событий эта формула имеет вид .

Определение. События называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если каждое из них и произведение любого числа остальных являются независимыми.

Замечание. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.

Если события независимы в совокупности, то

.

Теорема 3. Если событие состоит в появлении хотя бы одного из независимых событий , то , где ; ( - событие, противоположное событию ).

Если все независимые события имеют одну и ту же вероятность , то вероятность появления хотя бы одного из них определяется формулой: .

Пример. В урне имеется 6 красных, 8 синих, 4 белых шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны берут наудачу один шар и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что в первом испытании будет извлечен красный шар, при втором – синий, при третьем – белый.

Решение. Эксперимент состоит в последовательном извлечении без возвращения трех шаров из 18. Рассмотрим события:

событие - {извлекли красный шар};

событие - {извлекли синий шар};

событие - {извлекли белый шар}.

Нас интересует событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий, т.е. произведение АВС. По теореме умножения вероятностей для трех событий: , надо найти следующие вероятности:

(вероятность вытащить красный шар), (вероятность вытащить синий шар, при условии, что один красный шар уже изъят), (вероятность извлечь белый шар, при условии, что уже извлекли и красный шар, и синий). Тогда окончательно получаем: .

Пример. В каждом из трех ящиков имеется по 24 детали; при этом в первом ящике 18, во втором 20, в третьем 22 стандартные детали. Из каждого ящика берут по одной детали. Найти вероятность того, что все три извлеченные детали будут стандартными.

Решение. Эксперимент состоит в извлечении трех любых деталей из разных ящиков. Рассмотрим следующие события:

событие - { из первого ящика извлекли стандартную деталь },

событие - { из второго ящика извлекли стандартную деталь },

событие - { из третьего ящика извлекли стандартную деталь }.

Нас интересует событие, состоящее в том, что рассмотренные 3 события произошли одновременно, т.е. произведение 3 событий: А₁ А₂ А₃. Все эти события независимы в совокупности, т.к. извлечение из одного ящика стандартной детали никак не влияет на то, какая деталь будет извлечена из другого ящика. Поэтому, используем следующую формулу умножения вероятностей: . Вероятности указанных событий:

, , . Окончательно получаем .

Пример. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0.9; вторым – 0.8; третьим – 0.7. Найти вероятность того, что а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.

Решение. Эксперимент состоит в проведении 3 выстрелов тремя стрелками. Рассмотрим следующие события:

- { первый стрелок поразил цель },

- {второй стрелок поразил цель },

- {третий стрелок поразил цель }.

Так как каждый стреляет независимо от другого, эти события независимы в совокупности.

Пусть , , тогда , , . Введем в рассмотрение вспомагательные события:

- { в цель попал только первый стрелок},

- { в цель попал только второй стрелок},

- { в цель попал только третьим стрелок}.

Опишем эти события через А₁, А₂, А₃. Имеем: (первый попал, а второй и третий не попали), , .

Пусть А – {в цель попал только один стрелок}, тогда А=В₁+В₂+В₃ (попал только первый или только второй, или только третий). События , , несовместны, т.к. не могут произойти одновременно. Тогда . Так как , , ,

то .

Пусть - { в цель попали только второй и третий стрелки};

- { в цель попали только первый и третий стрелки};

- { в цель попали только первый и второй стрелки}.

Тогда , , , причем эти события несовместны. Если В - {в цель попали только два стрелка}, то и

.

Пусть С - {в цель попали все три стрелка}, тогда и .

По условию задачи , , . Следовательно, , , . Подставляя эти значения в полученные формулы, окончательно получаем:

; ; .