Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Оценка математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение при известном стандарте s и заданной надежности g, определяется по среднему значению выборки:

, (5.10)

где определяется из равенства , в котором - функция Лапласа (Приложение, табл. 2).

Этот интервал называется доверительным.

Если заданы и надежность g, и точность d, то минимальный необходимый объем выборки n определится из выражения

(5.11)

Пример.

Случайная величина прочности бетона R имеет нормальное распределение с известным стандартом s = 3 МПа. Найти доверительный интервал для оценки средней прочности М по выборочной средней , если объем выборки n = 36 и задана доверительная вероятность оценки g = 0,95.

Решение.

Из соотношения следует и по упомянутой выше таблице находим t = 1,96. Определяем точность оценки

Если задана точность оценки d = 1,5 МПа, доверительная вероятность оценки g = 0,95, то минимальный объем доверительной выборки составит:

.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи решает математическая статистика?

2. Объясните разницу между полигоном и гистограммой.

3. В чем особенность формулы статистической дисперсии?

4. В чем смысл критерия согласия Пирсона?

5. Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность?

6. Покажите соотношение между точностью оценки, доверительной вероятностью и минимальным объемом выборки.

Приложение

Плотность нормального распределения

Таблица 1

x											x
0,0	0,3989										0,0
0,1											0,1
0,2											0,2
0,3											0,3
0,4											0,4
0,5											0,5
0,6											0,6
0,7											0,7
0,8											0,8
0,9											0,9
1,0	0,2420										1,0
1,1											1,1
1,2											1,2
1,3											1,3
1,4											1,4
1,5											1,5
1,6											1,6
1,7											1,7
1,8											1,8
1,9											1,9
2,0	0,0540										2,0
2,1											2,1
2,2											2,2
2,3											2,3
2,4											2,4
2,5											2,5
2,6											2,6
2,7											2,7
2,8											2,8
2,9											2,9
3,0	0,0044										3,0
3,1											3,1
3,2											3,2
3,3											3,3
3,4											3,4
3,5											3,5
3,6											3,6
3,7											3,7
3,8											3,8
3,9											3,9
x											x

Функция Лапласа

Таблица 2

t
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,5
4,0

Литература

1. Вентцель Е.И. Теория вероятностей. – М., 1969.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Вышая школа, 2003.

3. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. – М.: Стройиздат, 1965.

4. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. – М.: Стройиздат, 1982.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие. 3

1. Основные понятия теории вероятностей. 4

1.1. Определения. 4

1.2. Сложение и умножение вероятностей. 6

1.3. Вероятность события при многократных испытаниях. 10

2. Случайные величины.. 12

2.1. Числовые характеристики случайной величины.. 12

2.2. Числовые характеристики одинаково распределенных независимых случайных величин. 14

2.3. Закон больших чисел. 14

3. Распределение вероятностей случайной величины.. 15

3.1. Плотность и функция распределения. 15

3.2. Законы распределения вероятностей. 16

3.2.1. Равномерное распределение. 16

3.2.2. Биноминальное распределение. 17

3.2.3. Распределение Пуассона. 18

3.2.4. Показательное распределение. 18

3.2.5. Нормальное распределение. 20

4. Общие сведения о случайных функциях (процессах) 23

4.1. Основные понятия. 23

4.2. Характеристики случайной функции. 24

5. Элементы математической статистики. 26

5.1. Основные задачи математической статистики. 26

5.2. Понятия математической статистики. 27

5.2.1. Виды выборок. 27

5.2.2. Частота. Полигон и гистограмма. 27

5.2.3. Числовые характеристики статистического распределения 28

5.2.4. Подбор теоретического закона распределения (первая задача математической статистики). 29

5.2.5. Критерий согласия Пирсона (вторая задача математической статистики) 30

5.2.6. Точность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. 32

5.2.7. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения. 33

Приложение. 35

Плотность нормального распределения. 35

Функция Лапласа. 36

Литература. 37