2015-06-10
352
Проверим пять предпосылок использования метода наименьших квадратов.
Шаг 1. Случайный характер остатков
Произведем анализ остатков, для чего построим диаграмму, приведенную на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1 – Зависимость остатков и
теоретических значений функции отклика
Анализ диаграммы показывает, что точки располагаются вблизи оси абсцисс, но зависимость содержит тенденцию. Следовательно, остатки носят систематический характер и в модель не включен фактор, оказывающий влияние на функцию отклика. Первая предпосылка использования метода наименьших квадратов не выполняется.
Шаг 2. Нулевая средняя величина остатков
Расчет основных показателей по остаткам приведен в таблице 7.1.
Таблица 7.1 – Расчет показателей по остаткам
| Набл. No | Предсказанные значения и остатки Зависимая переменная: y1 | ||||||||
| Набл. Знач. | Предск. Знач. | Остатки | Станд. Предск. | Станд. остатки | Ст. Ош. Предск. | Махал. Расст. | Удален. Остатки | Кука Расст. | |
| 3,3000 | 2,8367 | 0,4632 | 0,205 | 1,674 | 0,1929 | 7,330 | 0,902 | 1,0369 | |
| 2,4000 | 2,0424 | 0,3576 | -0,2109 | 1,292 | 0,1613 | 4,841 | 0,542 | 0,2614 | |
| 3,9000 | 4,2756 | -0,3756 | 0,9608 | -1,357 | 0,1603 | 4,767 | -0,565 | 0,2810 | |
| 4,8000 | 5,0895 | -0,2895 | 1,3878 | -1,046 | 0,1581 | 4,616 | -0,430 | 0,1583 | |
| 5,5000 | 5,5026 | -0,0026 | 1,6046 | -0,009 | 0,1704 | 5,511 | -0,004 | 0,0000 | |
| 5,3000 | 4,8720 | 0,4279 | 1,2737 | 1,547 | 0,1456 | 3,767 | 0,592 | 0,2539 | |
| 5,1000 | 4,9296 | 0,1703 | 1,3039 | 0,615 | 0,1594 | 4,707 | 0,255 | 0,0566 | |
| 4,8000 | 5,0546 | -0,254 | 1,3695 | -0,920 | 0,2441 | 12,302 | -1,153 | 2,7105 | |
| 1,1000 | 1,0966 | 0,0033 | -0,7071 | 0,012 | 0,1137 | 1,928 | 0,004 | 0,0000 | |
| 0,9000 | 0,8038 | 0,0961 | -0,8608 | 0,347 | 0,1508 | 4,111 | 0,136 | 0,0145 | |
| 0,9000 | 0,9647 | -0,0647 | -0,7763 | -0,234 | 0,1147 | 1,982 | -0,078 | 0,0027 | |
| 0,8000 | 0,7332 | 0,0667 | -0,8978 | 0,241 | 0,0904 | 0,875 | 0,074 | 0,0015 | |
| 0,8000 | 0,9619 | -0,1619 | -0,7778 | -0,585 | 0,0961 | 1,108 | -0,184 | 0,0107 | |
| 0,9000 | 1,1833 | -0,2833 | -0,6617 | -1,024 | 0,0977 | 1,178 | -0,323 | 0,0342 | |
| 0,9000 | 1,0520 | -0,1520 | -0,7305 | -0,549 | 0,1117 | 1,830 | -0,181 | 0,0140 | |
| 1,0000 | 1,0038 | -0,0038 | -0,7558 | -0,013 | 0,1116 | 1,825 | -0,004 | 0,0000 | |
| 0,8000 | 0,8345 | -0,0345 | -0,8446 | -0,125 | 0,1248 | 2,519 | -0,043 | 0,0010 | |
| 0,8000 | 0,7624 | 0,0375 | -0,8825 | 0,135 | 0,1297 | 2,795 | 0,048 | 0,0013 | |
| Минимум | 0,8000 | 0,7332 | -0,3756 | -0,8978 | -1,357 | 0,0904 | 0,875 | -1,153 | 0,0000 |
| Максимум | 5,5000 | 5,5026 | 0,4632 | 1,6046 | 1,674 | 0,2441 | 12,307 | 0,902 | 2,7105 |
| Среднее | 2,4444 | 2,4444 | 0,0000 | -0,0000 | 0,0000 | 0,1407 | 3,777 | -0,022 | 0,2688 |
| Медиана | 1,0500 | 1,1399 | -0,0032 | -0,6844 | -0,011 | 0,1376 | 3,281 | -0,004 | 0,0143 |
Среднее значение по остаткам равно нулю с точностью до четвертого знака после запятой. Вторая предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.
|
|
|
Шаг 3. Гомоскедастичность остатков
Выполним построение зависимостей 
где j – номер фактора. Получим зависимости, приведенные на рисунках 7.2 – 7.5.
Рисунок 7.2 – Вид диаграммы рассеяния для зависимости 
Рисунок 7.3 – Вид диаграммы рассеяния для зависимости 
Рисунок 7.4 – Вид диаграммы рассеяния для зависимости 
Рисунок 7.5 – Вид диаграммы рассеяния для зависимости 
|
|
|
Следует обратить внимание, что все коэффициенты регрессий имеют порядок 
¸ 
и значение коэффициента парной корреляции . Поэтому линия подгонки является горизонтальной прямой, совпадающей с осью абсцисс для всех диаграмм. Третья предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.
Шаг 4. Отсутствие автокорреляции
Отсутствие автокорреляции остатков определяем по значению сериального коэффициента корреляции остатков и статистике Дарбина –Уотсона. Значение данного коэффициента приведено в таблице 7.2.
Таблица 7.2 - значения статистики Дарбина – Уотсона и сериального коэффициента корреляции остатков
| Дарбина - Уотсона d (Пассажирооборот) и сериальная корреляция остатков | ||
| Дарбина -Уоттсона | Сериальная Корреляция остатков | |
| Оценка | 1,308759 | 0,237349 |
Выдвинем гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках. Так как выполняется неравенство –1,96 < h < 1,96, где h – значение статистики Дарбина –Уотсона равное 1,308759, то нет оснований отклонять нуль-гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
Четвертая предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.
Шаг 5. Нормальный закон распределения остатков
Построим гистограмму для распределения остатков. Количество классов определим по формуле Штюргерсса:
, (7.1)
где k – количество классов;
n – количество наблюдений.
Для n равного 18 получим k=5. В результате получим гистограмму, приведенную на рисунке 7.6.
Рисунок 7.6 – Гистограмма плотности распределения остатков
Выдвинем гипотезу о том, что остатки подчиняются нормальному закону распределения. Фактическое значение статистики Колмогорова – Смирнова составляет D=0,123 (см. рис. 7.6). Табличное значение 
(0,05; 18) = 0,336, где 0,05 – уровень значимости; 18 – количество наблюдений. Так как D < , то нет оснований отвергать выдвинутую гипотезу. Пятая предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.
