Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:
,
где m=M(X), σ2=D(X), σ>0.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис.7)
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .
рис.7
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:
,
где - функция Лапласа.
Замечание: Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.
График функции распределения F(x) изображен на рис. 8
рис.8
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле:
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:
В частности, при m=0 справедливо равенство:
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Интеграл вероятности. Функция Лапласа.
Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:
.
Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим:
.
Преобразуем последнее выражение, введя новую переменную Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.