Решение. Определение неизвестных токов и ЭДС с помощью законов Кирхгофа

Определение неизвестных токов и ЭДС с помощью законов Кирхгофа

Согласно исходным данным составляем электрическую схему (Рис. 1). Произвольно выбираем направления токов в ветвях (кроме заданного направления тока I₂₃).

Составляем уравнения по правилам Кирхгофа.

По первому закону составим число уравнений равное числу узлов в схеме без единицы, т. е.: 4-1 = 3 уравнения:

узел 1: I₁₄₊I₁₃ = I₂₁ +J₂₁

узел 3: I₃₄ +I₂₃ = I₁₃
узел 4: I₂₄ = I₁₄ +I₃₄

По второму закону число уравнений равно числу ветвей схемы за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа и числу ветвей, содержащих источники токов, т.е. 7 – 4 + 1 - 1 = 3 (обход контуров производится по часовой стрелке):

I₂₃ * R₂₃+ I₁₃* R₁₃ + I₂₁* R₂₁ = E₂₃ –E₁₃ + E₂₁

- I₁₃ * R₁₃ - I₃₄ * R₃₄ + I₁₄ * R₁₄ = E₁₃ – E₄₃ + E₁₄

- I₂₁ * R₂₁ – I₁₄ * R₁₄ – I₂₄ * R₂₄ = - E₂₁ - E₁₄ - E₂₄

Объединим полученные системы в одну:

I₁₄₊I₁₃ = I₂₁ +J₂₁
I₃₄ +I₂₃ = I₁₃
I₂₄ = I₁₄ +I₃₄

I₂₃ * R₂₃+ I₁₃* R₁₃ + I₂₁* R₂₁ = E₂₃ –E₁₃ + E₂₁

-I₁₃ * R₁₃ - I₃₄ * R₃₄ + I₁₄ * R₁₄ = E₁₃ – E₄₃ + E₁₄

-I₂₁ * R₂₁ – I₁₄ * R₁₄ – I₂₄ * R₂₄ = - E₂₁ - E₁₄ - E₂₄

Подставляя в полученную систему уравнений заданные значения токов, величины ЭДС, источника тока и сопротивлений, получаем систему алгебраических уравнений с шестью неизвестными:

I₁₄ + I₁₃-I₂₁ = 0.9

I₃₄ – I₁₃ =- 0.6

I₂₄ – I₁₄ -I₃₄ = 0

80*I₁₃ +80*I₂₁ – E₂₃ = -44

- 80*I₁₃ - 40*I₃₄ + 80* I₁₄ = 70

- 80*I₂₁ – 80*I₁₄ - 40*I₂₄ = -110

Полученная система шести уравнений с шестью неизвестными имеет единственное решение. Для определения токов и ЭДС воспользуемся матричным методом решением системы алгебраических уравнений. Для этого представим данную систему в виде произведения матриц А*Х = В, решением которого будет уравнение Х = А^-1*В. Результаты решения получаем используя табличный процессор EXCEL:

	ИСХОДНЫЕ МАТРИЦЫ
	I41	I13	I12	I24	I43	E23
			-1					I41		0,9
		-1						I13		-0,6
A =	-1				-1		X=	I12	B=
						-1		I24		-44
		-80			-40			I43
	-80		-80	-40				E23		-110
	Обратная матрица А				Результат
	0,285714		-0,14286		0,003571	-0,003571429		0,9		0,9	I41
	0,190476	-0,33333	-0,09524		-0,00595	-0,002380952		-0,6		0,216667	I13
	-0,52381	-0,33333	-0,2381		-0,00238	-0,005952381	В=			0,216667	I12
	0,47619	0,666667	0,761905		-0,00238	-0,005952381		-44		0,516667	I24
	0,190476	0,666667	-0,09524		-0,00595	-0,002380952				-0,38333	I43
	-26,6667	-53,3333	-26,6667	-1	-0,66667	-0,666666667		-110		78,66667	E23

Определение неизвестных токов и ЭДС методом контурных токов

Так как узлы 1 и 3 соединены двумя ветвями, прибегнем к замене этих ветвей одной эквивалентной, определив E_31Э (Рис.2).

Е_21Э = R₂₁ *J +E₂₁ =80*0,9 + 30 = 102В

Электрическая схема имеет следующий вид:

Для определения неизвестных величин методом контурных токов составляем основные уравнения для контуров:

R₁₁*I₁₁ - R₁₃*I₂₂ - R₁₂*I₃₃ = E₁₁

-R₁₃*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ – R₁₄*I₃₃ = E₂₂

-R₁₂*I₁₁ – R₁₄*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃

Применительно к заданной электрической схеме система имеет следующий вид:

(R₂₃ + R₂₁ + R₃₁)*I₁₁ – R₁₃*I₂₂ – R₁₂*I₃₃ = E₂₃ – E₁₃ + E_21Э

- R₁₃*I₁₁ + (R₁₃ + R₁₄ + R₃₄)*I₂₂ – R₁₄* I₃₃ = E₁₃ – E₄₃ + E₁₄

- R₁₂*I₁₁ – R₁₄*I₂₂ + (R₂₁ + R₂₄ + R₁₄)*I₃₃ = -E_21Э – E₁₄ - E₂₄

Подставим заданные значения сопротивлений, тока I₁₁ = I₂₃ и ЭДС, получим:

- 80*I₂₂ – 80*I₃₃ – E₁₂ = - 68

200*I₂₂ – 80*I₃₃ = 118

-80*I₂₂ + 200*I₃₃ = -134

Аналогично предыдущему, используем матричный метод для решения этой системы:

		РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ
		I22	I33	E23
		-80	-80	-1		I22			-68
	A =		-80		X=	I33		B=
		-80				E23			-134		Результат
											0,9	I41
											0,216667	I13
		Обратная матрица А				Результат	0,517	I23
			0,005952	0,002381		-68			0,383333	I22	0,516667	I24
			0,002381	0,005952	B=				-0,51667	I33	-0,38333	I43
		-1	-0,66667	-0,66667		-134			78,66667	E23	78,66667	E23

Энергетический баланс электрической цепи

Баланс мощностей рассчитываем для схемы, изображенной на рис. 1, так как схема на рис. 3 не эквивалентна ей в отношении энергии.

Общий вид уравнения энергетического баланса:

ΣI²*R = ΣE*I + U₃₁*J,

где U₃₁ = φ₂ – φ₁ = E₁₂ - I₁₂*R₁₂ = 12,667 В.

Расчет проведен в EXCEL:

Таким образом, баланс мощностей рассчитан верно.