Оценка точности аппроксимации

Различия в представлении эмпирической зависимости по отношению к моделирующей ее аналитической функции оценивается коэффициентом аппроксимации ε, который вычисляется как среднее модуля величин эмпирических и теоретических значений, отнесенных к соответствующим эмпирическим значениям. То есть относительная ошибка аппроксимации данной нам эмпирической зависимости с помощью линейной функции может быть вычислена как:

1 │ y_i - ŷ_i │

ε = — ∑│ ———│∙ 100%. (22)

n │ y_i │

Схема вычисления суммы в выражении (22) приведена в рабочей таблице 3.

Таблица 3

Рабочая таблица для вычислении суммы выражения (22)

i	yi	ŷi по выражению (20)	│yi - ŷi │	│yi - ŷi / yi │
		0,4 1,2 2,0 2,8 3,6	0,6 0,2 1,0 0,2 0,4	0,60 0,20 1,00 0,06 0,13
∑ │ yi - ŷi / yi │ = 1,99

Тогда ε = — ∙ 1,99 ∙ 100% = 38,6%,

что, конечно, свидетельствует о далеко не малой ошибке. Обычно аппроксимирующую функцию подбирают так, чтобы ошибка аппроксимации не превышала единиц процентов. В данном случае задачу аппроксимации методом наименьших квадратов было бы целесообразно решить еще раз, скажем, для степенной или показательной функции. Однако вычисления по сравнению с линейной функцией немного усложнятся вследствие необходимости предварительной линеаризации аппроксимирующей функции.

При использовании стандартных компьютерных пакетов прикладных программ Статграфик, SPSS и др. от пользователя требуется лишь занесение исходных данных. Затем они используются всеми имеющимися парными функциями различного вида, и пользователю предоставляется возможность выбрать ту функцию (не обязательно линейную), относительная ошибка аппроксимации которой является минимальной среди имеющегося встроенного банка функций ŷ_i.

Вычисление коэффициента линейной корреляции

Коэффициент линейной корреляции может быть вычислен по следующей формуле:

N ∑xy ─ ∑x ∑y

ρ = ———————————————. (23)

{[N ∑x² ─ (Sх)²] [N ∑y² – (Sy)²]} ^1/2

Для нашего примера

5 • 38 – 15 • 10 40

ρ = —————————————— = —— = 0,894.

([5 • 55 ─ (15)²] [5 • 28 – (10²)]}^1/2 44,72

Отметим, что по степени тесноты между двумя переменными по своей абсолютной величине (модулю) корреляционные связи считаются «слабыми» при │ρ │ = 0,2 – 0,3; «существенными» при │ρ │= 0,5 – 0,7 и «сильными» при │ρ│≈ 0,9. Корреляция отсутствует при │ρ│≈ 0.

Область изменения коэффициента линейной корреляции находится в пределах: - 1 ≤ ρ ≤ + 1.

В данном случае имеем сильную зависимость между временем (в месяцах) и величиной прибыли (в тыс. руб.).

Нам остается лишь выяснить степень достоверности вычисленной тесноты связи.