Домашнее задание

ЗАНЯТИЕ 2. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Конус. Цилиндрические поверхности. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение эскизов поверхностей.

Ауд.

Л-3. Гл. 1

№ 372-377, 393-396.

☺ ☻ ☺

Пример 1 – 372: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение трёхосного эллипсоида.

2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =3, =2, =5.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 27 в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: трёхосный эллипсоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =5.

Пример 2 – 373: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

2). Центр фигуры находится в точке (0,0,0), причём: =4, =2, =6.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: однополостный гиперболоид с центром в точке (0,0,0), при: =3, =2, =6.

Пример 3 – 374: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при = = =1.

Пример 4 – 375: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение конуса вращения второго порядка, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0). При этом: = = =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 29 в ответах задачника (внимательно посмотрите!). Учесть, что ось вращения .

Ответ: конуса вращения второго порядка (ось вращения ), центр (0,0,0), при = = =1.

Пример 5 – 376: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение параболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: параболоид вращения: центр в точке (0,0,0); , не определено.

Пример 6 – 377: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), причём: = =1, = .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: гиперболический параболоид: центр в точке (0,0,0); , не определено.

☺E☺

Пример 7 – 393: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющей которого является окружность радиуса 2, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая, что образующая параллельна оси .

Ответ: в тексте.

Пример 8 – 394: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющей которого является гипербола =4, =3, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: в тексте.

Пример 9 – 395: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − окружность, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.

Ответ: в тексте.

Пример 10 – 396: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − парабола, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая, что образующая параллельна оси .

Ответ: в тексте.

☺FE☺

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3. Гл. 1

№ 378-383, 397-402.

Пример 1 – 378: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Имеем каноническое уравнение эллиптического параболоида, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры в точке (0,0,0), При этом: =1, = и =1.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: эллиптический параболоид, центр в точке (0,0,0), при: =1, = и =1.

Пример 2 – 379: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение параболического цилиндра, образующая параллельна .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: не определено.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) с соответствующей заменой оси на ось (только по-честному!).

Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна , не определено.

Пример 3 – 380: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано уравнение параболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры в точке (0,0,2), при этом: = =1 и = .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: параболоид вращения с центром в точке (0,0,2), при: = =1 и = .

Пример 4 – 381: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,2), При этом: = , =2 и =3.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) (только по-честному!).

Ответ: параболоид гиперболический с центром (0,0,0), при: = , =2 и =3.

Пример 5 – 382: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: = = =2.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).

Ответ: однополостный гиперболоид вращения с центром (0,0,0), при: = = =2.

Пример 6 – 383: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения, ось вращения .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,0), При этом: = = =2.

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) с соответствующей заменой оси на ось (только по-честному!).

Ответ: двуполостный гиперболоид вращения с центром в точке (0,0,0), при: = = =2.

☺E☺

Пример 7 – 397: Установить, какой геометрический образ определяется заданным уравнением: . Сделать рисунок.

Решение:

1). Перепишем уравнение: Задано уравнение параболического цилиндра, образующая параллельна .

2). Центр геометрической фигуры находится в точке (0,0,4), При этом: При этом: =– .

3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 в) с соответствующей заменой оси на ось и учётом =– (только по-честному!).

Ответ: параболический цилиндр, образующая параллельна , =– .

Пример 8 – 398: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндрическую поверхность, направляющие которой могут быть заданы прямыми: и , а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.

Ответ: в тексте.

Пример 9 – 399: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндрическую поверхность, направляющие которой могут быть заданы прямыми: и , а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.

Ответ: в тексте.

Пример 10 – 400: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет вырожденную поверхность: ось .

2). Выполнение рисунка не представляет труда.

Ответ: в тексте.

Пример 11 – 401: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндрическую поверхность, направляющая которой − гипербола, расположенная в плоскости , а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.

Ответ: в тексте.

Пример 12 – 402: Построить цилиндрическую поверхность: .

Решение:

1). Уравнение определяет цилиндр, направляющая которого: − окружность, а образующая параллельна оси .

2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.

Ответ: в тексте.

F☺☺E

Вопросы для самопроверки:

1. Как получают поверхности вращения 2-го порядка?

2. Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?

3. Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?

4. Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?

5. Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?

6. Чем примечательна конструкция Останкинской телебашни?

< * * * * * >