Задание 5

Решить задачу, используя геометрическое определение вероятности.

1. Наудачу выбираются два действительных числа x и y, причем 0 £ x £ N, 0£y£N. Найти вероятность того, что y² £ x.

2. Найти вероятность того, что корни уравнения , где коэффициенты p и q выбраны наудачу в квадрате , окажутся действительными.

3. Найти вероятность того, что корни уравнения , где коэффициенты p и q выбраны наудачу в квадрате , окажутся мнимыми.

4. Найти вероятность того, что корни уравнения , где коэффициенты p и q выбраны наудачу в квадрате , окажутся положительными.

5. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что

. Какова вероятность того, что дробь окажется положительной?

6. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что . Какова вероятность того, что ?

7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что . Какова вероятность того, что ?

8. На паркетный пол (паркет имеет форму квадрата) бросается монета, диаметр которой в N + 1 раз меньше стороны квадрата. Какова вероятность того, что монета не пересечет не одной стороны квадрата (предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения на плоскости).?

9. В квадрат с вершинами в точках (0, 0), (0, N +2), (N +2, 0), (N + 2, N + 2) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты x и y будут удовлетворять неравенству ?

10. В треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, N + 2), (N + 2, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты x и y будут удовлетворять неравенству ?

11. На шахматную доску наудачу брошена монета, диаметр которой в N + 1 раз меньше стороны каждого из квадратов доски. Какова вероятность того, что монета окажется полностью на черном поле?

12. Наудачу выбираются два действительных числа x и y, причем 0 £ x £ N, 0£y£N. Найти вероятность того, что .

13. В прямоугольник с вершинами в точках (0,0), (0,N +2), (2(N+ 2), 0), (2(N + 2), N + 2) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты x и y будут удовлетворять неравенству ?

14. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися на расстоянии 2N друг от друга. На плоскость наудачу брошена монета диаметра N. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

15. Парабола y = a x² + b x + c касается нижней стороны квадрата с вершинами в точках (0, 0), (0, N + 1), (N + 1, N + 1), (N + 1, 0) и проходит через верхние его вершины. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в область, заключенную между верхней стороной квадрата и параболой?

16. Парабола y = a x² + b x + c касается полукруга и проходит через границы его диаметра d = 2(N + 1). Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в полукруг, попадет в область, ограниченную дугой полукруга и параболой?

17. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что . Какова вероятность того, что дробь окажется отрицательной?

18. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что . Какова вероятность того, что ?

19. В фигуру, ограниченную линиями y = N + 1, y = 0, x = 0, y = x – N наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что ее координаты x и y будут удовлетворять неравенству ?

20. В фигуру, ограниченную линиями y = N + 1, y = 0, x = 0, y = x – N наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что ее координаты x и y будут удовлетворять неравенству ?

21. Парабола y = a x² + b x + c касается нижней стороны квадрата с вершинами в точках (0, 0), (0, N + 1), (N + 1, N + 1), (N + 1, 0) и проходит через верхние его вершины. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в область, заключенную между параболой и прямыми y = 0, x = N + 1, x = 0?

22. Парабола y = a x² + b x + c касается полукруга и проходит через границы его диаметра d = 2(N + 1). Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в полукруг, не попадет в область, ограниченную дугой полукруга и параболой?

23. Из отрезка [−N; N + 1] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше N, а произведение меньше N?

24. Найти вероятность того, что корни уравнения , где коэффициенты p и q выбраны наудачу в квадрате , окажутся отрицательными.

25. На отрезок длиной N наудачу бросают две точки. Они разбивают отрезок на три меньших отрезка. Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно построить треугольник?

26. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает N + 1. Найти вероятность того, что xy £ 1, а .

27. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает N. Найти вероятность того, что сумма их не превышает N, если сумма их квадратов больше 0,25.

28. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит N, будет больше N?

29. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии (N + 5) см наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения?

30. Даны две концентрические окружности радиусов r ₁ = N + 2 см, r ₂ = N + 4 см. На большей окружности наудачу ставятся две точки A и B. Какова вероятность того, что отрезок АВ не пересечет малую окружность?

31. Наудачу взяты два положительные числа x = 0,1(N + 1), y = 0,2N, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет больше единицы, а частное не больше двух.

32. Наудачу взяты два положительные числа x, y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение xy не меньше 0,01×N.

33. На отрезке ОА длины L = N + 12 числовой оси OX наудачу поставлены две точки M(x) и K(y). Найти вероятность того, что длина отрезка MK меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезке пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

34. На отрезке ОА длины L = N + 10 числовой оси OX наудачу поставлены две точки D(x) и E(y), причем y ³ x. Найти вероятность того, что длина отрезка DE меньше, чем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезке пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

35. На отрезке ОА длины L = N + 15 числовой оси OX наудачу поставлены две точки L(x) и N(y). Найти вероятность того, что длина отрезка LN меньше, чем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезке пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.