Критерий Найквиста

Для исследования устойчивости усилителей с обратной связью Найквист в 1932 г. предложил критерий устойчиво­сти, основанный на анализе частотных характеристик системы. Для исследования устойчивости замкнутой системы регулирования, согласно этому критерию, необ­ходимо знать амплитудно-фазовую частотную характеристику разом­кнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и эк­спериментально.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования . Образуем функцию

Числитель этой функции представляет собой характеристический полином замкнутой системы, знаменатель — характеристический по­лином разомкнутой системы. Пусть степень D(р) равна n, а степень К(р) равна m<n. Степень характеристического полинома замкнутой системы К(р)+D(р) также равна n.

Рассмотрим три случая состояния разомкнутой системы: устойчи­ва, неустойчива и находится на границе устойчивости, причем в последнем случае характеристическое уравнение разомкнутой системы D(p)=0 имеет нулевой корень кратности v, т. е.

I случай – система в разомкнутом состоянии устойчива

На рис. 7.6, а показаны два годографа : 1 соответствует устойчивой системе, так как он не охватывает точку (0, j0); 2 - неустойчивой, так как он охватывает точку (0, j0). Поскольку F(jw) отличается от W_p(jw) на +1, то условие устойчивости можно получить непосредственно для характеристики W_p(jw) (рис. 7.6, б).

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jw) при изменении w от 0 до ¥ не охватывал точку (-1, j0).

II случай — система в разомкнутом состоянии неустойчива

При рассмотрении многоконтурных систем или одноконтурных систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчивой.

Для устойчи­вости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jw) при изменении w от 0 до ¥ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1, j0), где l - число корней характеристического уравнения разомкнутой си­стемы, лежащих в правой полуплоскости.

III случай — система в разомкнутом состоянии находится на гра­нице устойчивости.

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

где v - число нулевых корней характеристического уравнения си­стемы в разомкнутом состоянии; К(р) и D₁(p) - полиномы от р, причем D₁(р) не имеет нулей в правой полуплоскости и на мнимой оси.

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования, которая в разомкнутом состоянии находится на гра­нице устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jw), дополненный в бесконечности, при изменении w от 0 до ¥ не охватывал точку (-1,j0).

Понятие «охват точки (-1, j0)», используемое в приведенных выше Формулировках критерия Найквиста, имеет некоторую неопределенность. Действительно, трудно сразу сказать, охватывает или не охватывает эту точку частотный го­дограф W_p(jw), изображенный на рис. 7.11, а. В сомнительных слу­чаях можно прибегать к помощи формульных записей критерия Най­квиста. Лучше, однако, дать критерию Найквиста иную формулировку, основанную на подсчете числа переходов частотно­го годографа W_p(jw) через отрицательную действительную полуось от -1 до -¥. Будем считать такой переход положительным, если при возрастании w годограф пере­ходит из верхней полуплоскости в нижнюю, и отрицательным, если годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (рис. 7.11).

Общая формулировка критерия Найквиста охватывает все три рас­смотренных выше случая.

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулиро­вания необходимо и достаточно, чтобы разность между числами по­ложительных и отрицательных переходов частотного годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(jw) через отрицательную действительную полуось от -1 до -¥ была равна l/2, где l - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с ну­левыми корнями характеристического уравнения, число l считается равным нулю, а годограф W_p(jw) берется с дополнением в бесконечности.

Показанный ранее на рис. 7.11, а годограф W_p(jw) при l =0 соответствует устойчивой замкнутой системе; на рис. 7. 11, б показан годограф W_p(jw) неустойчивой в разомкнутом состоянии системы, для которой l =2. Годограф имеет два положительных перехода и один отрицательный переход, следовательно, разность между числами переходов равна единице. Согласно приведенной выше формулировке критерия устойчивости рассматриваемая система устойчива в замкну­том состоянии.