Критерий Михайлова (частотный)

В основе лежит известный в теории функций ком­плексного переменного принцип аргумента. Согласно этому принципу приращение аргумента функции f комплексного перемен­ного р при изменении его по замкнутому контуру в положительном направлении (против часовой стрелки) составляет , где N — число нулей, а р — число полюсов функции f(р) внутри замкнутого контура.

Допустим, что уравнение А (р) — 0 имеет / корней в правой полу­плоскости и п — I корней в левой полуплоскости (порядок уравнения равен л). Тогда на основании (7.32), (7.33) и (7.34)

Для устойчивости системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы число правых корней l было равно нулю, при этом

При l =0 аргумент А(jw) будет монотонно возрастать с увеличением w.

Построим годограф характеристи­ческого вектора А(jw), называемого годографом Михайлова. При этом можно ограничиться половинным диапазоном изменения , так как для полиноминальной функции от jw справедливы равенства

и часть годографа А(jw), соответствующая отрицательным значениям w, представляет собой зеркальное отражение относительно действитель­ной оси части годографа А(jw) для положительных w. При изменении w в половинном диапазоне

Согласно критерию Михайлова для устойчивости системы автома­тического регулирования необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического вектора А(jw), начинаясь при w=0 на действительной оси, с ростом jw от 0 до ¥ обходил последовательно в поло­жительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения.

На рис. 7.4, а показаны годографы Михайлова для устойчивых систем при различных значениях n. Все они начинаются при w =0 со значения а₀ на положительной действительной полуоси. Это озна­чает, что характеристические уравнения приведены к виду, при котором их коэффициенты положительны. Годографы, изображенные на рис. 7.4, а, уходят в бесконечность при и обходят соответствующее чис­ло квадрантов в положительном направ­лении.

На рис. 7.4, б показаны годографы неустойчивых систем. Все они не удов­летворяют условию обхода n квадран­тов в положительном направлении.