2015-06-16
3483
Выпишем формулы, по которым определяются количественные характеристики надежности изделия
(2.1)
(2.2) (2.3)
(2.4)
(2.5)
где p(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t; q(t) - вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t; f(t)-частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия Т;
(t)- интенcивность отказов изделия; mt - среднее время безотказной работы изделия.
Формулы (2.1) - (2.5) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид
 ;
| (2.6) |
 ;
| (2.7) |
 ;
| (2.8) |
 ;
| (2.9) |
 .
| (2.10) |
Формулы (2.1) - (2.5) для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид 
  ;
| (2.11) |
  ;
| (2.12) |
 ;  ;
| (2.13) |
 ,
| (2.14) |
где Ф(U) - функция Лапласа, обладающая свойствами
Ф(0)=0; (2. 15)
Ф(-U) =-Ф(U); (2.16)
Ф()=0.5. (2.17)
Значения функции Лапласа приведены в приложении П.7.13 [ 1 ].
Значения функции (U) приведены в приложении П.7.17 [ 1 ].
Здесь mt - среднее значение случайной величины Т; t2 - дисперсия случайной величины Т; Т- время безотказной работы изделия.
|
|
|
Формуды (2.1) - (2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы изделия имеют вид
 ;
| (2.18) |
 ;
| (2.19) |
 ;
| (2.20) |
 ;
| (2.21) |
 ,
| (2.22) |
где a,k - параметры закона распределения Вейбулла. Г (x) - гамма-функция, значения которой приведены в приложении П.7.18 [ 1 ].
Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределвния Релея времени безотказной работы изделия имеют вид
 ;
| (2.23) |
 ;
| (2.24) |
 ;
| (2.25) |
 ;
| (2.26) |
 ,
| (2.27) |
где t - мода распределения случайной величины Т; Т - время безотказной работы изделия.
Решение типовых задач.
Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром =2.510-5 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),mt для t=1000час.
Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для p(t),q(t),f(t),mt.
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
.
Используя данные таблицы П.7.14 [ 1 ] получим
.
2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем
q(1000)=1-p(1000)=0.0247.
3. Вычислим частоту отказов
; 
1/час.
4. Вычислим среднее время безотказной работы
час.
Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами mt =8000 час, t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),(t),mt для t=10000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.11), (2.12), (2.13),(2.14) для p(t), f(t), (t),mt.
1. Вычислим вероятность безотказной работы
p(t)=0.5Ф(U); U=(t-mt)/t;
U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413;
p(10000)=0.5-0.3413=0.1587. 2. Определим частоту отказа f(t)
.
Введем обозначение
.
Тогда
f(t)=(U)/t; U=(t-mt)/t 
;
f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110-5 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов (t)
(t)=f(t)/p(t);
|
|
|
(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110-5 /0.1587=76.410-5 1/час.
4. Среднее время безотказной работы элемента
mt = 8000 час.
Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),mt для t=1000час,если параметр распределения t=1000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27),(2.26) для p(t),f(t),
mt,(t).
1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)
2. Определим частоту отказа f(t)
f(t)=tp(t)/t2 ;
f(1000)=10000.606/10002=0.60610-3 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов
(t)= t/t 2;
(1000)=1000/10002 =10-3 1/час.
4. Определим среднее время безотказной работы изделия
час.
Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),mt.
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18). Имеем
p(t)=exp(-atk); p(100)=exp(-10-4 1001.5); x=1001.5;
lg x=1,5lg 100=3; x=1000; p(100)=e-0,1 =0,9048.
2. Определим частоту отказов f(t)
f(t)=aktk-1 p(t);
f(100)=10-4 1,51000,5 0,90481,3510-3 1/час.
3. Определим интенсивность отказов (t)
(t)=f(t)/p(t);
(100)=f(100)/p(100)=1,3510-3 /0.90481,510-3 1/час.
4. Определим среднее время безотказной работы изделия mt
.
Так как zГ(z)=Г(z+1), то
;
x=10-2,666;lg x=-2,666lg10=-2,666= 
; x=0,00215.
Используя приложение П.7.18 [1], получим
m t =0,90167/0,00215=426 час.
Задача 2.5. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде
.
Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t),mt.
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем
Вычислим сумму С1+ С2 Так как 
, то
.
Тогда
2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по
формуле
.
3. Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании формулы (2.5) будем иметь
