Из (6.15) получим

Задача 6.3. Схема расчета надежности устройства приведена на рис. 6.3. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов устройства и все элементы устройства равнонадежны. Интенсивность отказов элемента = 1,33*10^-31/час. Требуется определить f_c(t),m_tc, P_c(t), _с(t) резервированного устройства.

Решение

; (6.17)

P_c(t)=P_I(t)P_II(t)= , т.к. P_I(t)=P_II(t);

P_I(t)=1-q_I(t); q_I(t)=q²(t); q(t)=1-P(t); P(t)=e^-t;

q(t)=1-e^-t; q_I(t)=(1-e^-t)²; P_I(t)=1-(1-e^-t)²;

P_c(t)=[1-(1-e^-t)²]²

или

P_c(t)=(1-1+2e^{- t}-e^{- 2t})² = 4e^{- 2t} - 4e^{- 3t} + e^{- 4t}. (6.18)

Подставляя (6.18) в (6.17), получим

час.

0пределим f_c(t). Имеем

Определим _с(t). Имеем

Задача 6.4. Нерезервированная система управления состоит из n=5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести раздельное дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы cистемы P_c(t) = 0,9 при t = 10 час, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение, Вероятность безотказной работы системы при раздельном дублировании и равнонадежных элементах равна:

где Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

то

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t) =exp(-t)1-t, интенсивность отказов элемента должна быть

1/час.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.5. Схема расчета надежности устройства показана на рис.6.4. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов устройства. Интенсивности отказов элементов имеет следующие значения ₁=0,3*10^-3 1/час, ₂=0,7*10^-3 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы устройства в течении времени t = 100 час, среднее время безотказной работы, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t = 100 час.

Задача 6.6. Схема расчета надежности приведена на рис. 6.5. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Требуется определить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов имеют следующие значения ₁ = 0,23*10^-3 1/час, ₂ = 0,17*10^-3 1/час

Задача 6.7. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено раздельное дублирование передатчика и приемника. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов _п=2*10^-3 1/час и _пр=1*10^-3 1/час соответственно. Схема канала представлена на рис.6.6. Требуется определить вероятность безотказной работы канала P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t).

Задача 6.8. Схема расчета надежности системы приведена на рис.6.7., где также приведены интенсивности отказов элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы системы P_c(t) и частоту отказов f_c(t).

Задача 6.9. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков:

I, II и III. Интенсивности отказов для этих трех блоков соответственно равны: ₁,₂,₃. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры Pc(t) для следующих случаев:

а) резерв отсутствует;

б) имеется дублирование каждого блока.

Задача 6.10. Нерезервированная система управления состоит из n =4000 элемвнтов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы P_c(t) =0,9 при t=100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует; б) применено раздельное (поэлементное) дублирование.

Задача 6.11. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов (n=З) применено раздельное дублирование каждого каскада. Интенсивность отказов каскадов равна =5*10^-4 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы P_c(t) в течение времени

t = 100 час и среднее время безотказной работы m_tc радиопередатчика.

Задача 6.12. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризуется соответственно интенсивностями отказов ₁120,5410 ⁶ 1/час и ₂185,6610 ⁶ 1/час.

Выполнено пассивное поэлементное резервирование с неизменной нагрузкой блока 2 (см. рис. 6.8). Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с(t) вычислителя, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) вычислителя. Определить Р_с(t) при t час.

Задача 6.13. Вычислительное устройство состоит из n одинаковых блоков, к каждому из которых подключен блок в нагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого блока равна 10 ⁴ 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с(t) устройства и среднее время безотказной работы устройства m_tc.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7.

Резервирование с дробной кратностью и постоянно

включенным резервом.

Теоретические сведения.

Резервированная система состоит из l отдельных систем (рис. 7.1.). Для ее нормальной работы необходимо, чтобы исправными были не менее чем h систем. Кратность резервирования такой системы равна

. (7.1)

Предполагается, что основные и все резервные системы равнонадежны. Вероятность безотказной работы резервированной cистемы:

,

где

(7.2)

Здесь Р_о(t) - вероятность безотказной работы основной системы или любой резервной системы; l - общее число основных и резервных систем; h число систем, необходимых для нормальной работы.

На рис. 7.1 _о есть интенсивность отказов любой одной из систем. Будем предполагать, что для любой отдельно взятой системы справедлив экспоненциальный закон надежности, т.е.

. (7.3)

Определим среднее время безотказной работы системы. Имеем

. (7.4)

Решение типовых задач.

Задача 7.1. Система электроснабжения блока ЭВМ состоит из четырех генераторов, номинальная мощность каждого из которых 18 квт. Безаварийная работа блока еще возможна, если система электроснабжения может обеспечивать потребителя мощностью 30 квт. Необходимо определить вероятность безотказной работы системы энергоснабжения в течение времени t 600 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) системы энергоснабжения, если интенсивность отказов каждого из генераторов 10^-3 1/час.

Решение. Мощности двух генераторов достаточно для питания блока ЭЦВМ, так как их суммарная мощность составляет 36 квт. Это означает, что отказ системы электроснабжения еще не наступит, если откажут один или два любых генератора, т.е. имеет место случай резервирования с дробной кратностью m 2/2 при общем числе устройств, равном 4. На основании формулы (7.2) имеем

Так как

C₄⁰=1; C₀⁰=1; C₄¹=4; C₁⁰=1; C₁¹=1; C₄²=6; C₂⁰=1; C₂¹=2; C₂²=1,

то

P_c(t)=6P₀²(t)- 8P₀³(t)+ 3P₀⁴(t).

Так как P₀(t)=exp(- lt), то

P_c(t)=6e ^{- 2lt}- 8e ^{- 3lt}+3e ^-4lt.

Для данных нашей задачи lt = 0,09. Тогда

P_c(600)=0,997.

Среднее время безотказной работы на основании формулы (7.4) будет

час.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

Определим интенсивность отказов _с(t). Получим

.

Задача 7.2. Для повышения точности измерения некоторой величины применена схема группирования приборов из пяти по три, т.е. результат измерения считается верным по показанию среднего (третьего) прибора. Требуется найти вероятность безотказной работы P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc такой системы, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _c(t) системы, если интенсивность отказов каждого прибора = 0,4 10^-3 1/час.

Решение. В данном случае измерительная система отказывает в том случае, если откажут из пяти приборов три и более, т.е. имеет место общее резервирование дробной кратности, когда общее число приборов l = 5, число приборов, необходимых для нормальной работы, h = 3, а кратность резервирования m = 2/3.

Используя формулу (7.2), получаем

Так как

C₅⁰=1; C₀⁰=1; C₅¹=5; C₁⁰=1; C₁¹=1; C₅²=10; C₂⁰=1; C₂¹=2; C₂²=1,

то

P_C(t)=P₀⁵(t)+5P₀⁴(t)1P₀(t)+10P₀³(t)12P_o(t)+P₀²(t)=

=6P₀⁵(t)15P₀⁴(t)+10P₀³(t).

Так как P₀(t)=exp(t), то

P_c(t)=6e^5t 15e^4t+10e^3t.

Среднее время безотказной работы на основании формулы (7.4) будет

1958 час.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

= 30e^3t(e^2t 2e^t+1)=30e^3t(1e^t)².

Определим _с(t). Получим

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.3. Интенсивность отказов измерительного прибора =0.8310³ 1/час. Для повышения точности измерения применена схема группирования из трех по два (m=1/2). Необходимо определить вероятность безотказной работы схемы P_c(t), среднее время безотказной работы схемы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _c(t) схемы.

Задача 7.4. Интенсивность отказов измерительного прибора =0.8310³ 1/час. Для повышения точности измерения применена схема группирования из пяти по три (m=2/3). Необходимо определить вероятность безотказной работы схемы P_c(t), частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) схемы.

Задача 7.5. Автомобильный двигатель имеет l=4 свечи зажигания по одной на каждый цилиндр. Интенсивность отказов свечи =10³ 1/час, а длительность работы двигателя в течение всего путешествия t=20 час. Предполагается, что автомобиль может ехать также при одном неработающем цилиндре. Необходимо определить вероятность безотказной работы двигателя P_c(t), среднее время безотказной работы двигателя m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _c(t) двигателя. Какова вероятность того, что автомобиль доставит туристов в пункт назначения без замены свечей?

Задача 7.6. В вычислительном устройстве применено резервирование с дробной кратностью “один из трех”. Интенсивность отказов одного нерезервированного блока равна: ₀=410³ 1/час.

Требуется рассчитать вероятность безотказной работы устройства P_c (t) и среднее время безотказной работы m_tc резервированного вычислительного устройства.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8.

Скользящее резервирование при экспоненциональном

законе надежности.

Теоретические сведения.

Вероятность безотказной работы резервированной системы определяется соотношением

(8.1)

где ₀ = n - интенсивность отказов нерезервированной системы;

- интенсивность отказа элемента, n - число элементов основной системы; m₀ - число резервных элементов, находящихся в ненагруженном резерве.

В этом случае кратность резервирования

m = m₀ / n. (8.2)

Среднее время безотказной работы резервированной системы определяется формулой

m_tc = T₀ (m₀ + 1), (8.3)

где T₀ - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Решение типовых задач.

Задача 8.1. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил скользящее резервирование при одном резервном элементе, находящемся в ненагруженном состоянии (рис. 8.1). Интенсивность отказов элемента равна. Требуется найти вероятность безотказной работы P_c (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m_tc системы, а также частоту отказов f_c (t) и интенсивность отказов _c (t) резервированной системы.

Решение. В рассматриваемом случае n = 2; m₀ = 1; ₀ = n = 2.

На основании формулы (8.1) имеем

или

.

Определим m_tc. Получим

или

.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

или

Определим интенсивность отказов _c(t). Получим

Задача 8.2. Цифровая вычислительная машина состоит из 1024 однотипных ячеек и сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек. В составе ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из которых может заменить любую отказавшую. Требуется определить вероятность безотказной работы ЦВМ P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _c(t). Также требуется определить P_c(t) при t=10000 час. Известно, что интенсивность отказов ячейки =0.1210⁶ 1/час. Под отказом будем понимать событие, когда ЦВМ не может работать из-за отсутствия ЗИПа, т.е. когда весь ЗИП израсходован и отказала еще одна ячейка памяти ЦВМ.

Решение. Так как любая ячейка из состава ЗИПа может заменить любую отказавшую ячейку ЦВМ, то имеет место “скользящее” резервирование. В нашем случае число элементов основной системы n=1024, интенсивность отказов нерезервированной системы ₀=n=10240.1210⁶ 1.2310⁴ 1/час, число резервных элементов m₀=3. На основании формулы (8.1) имеем

Определим m_tc. Получим

или

час.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

Определим интенсивность отказов _c(t). Получим

Определим P_c(t) при t=10000час. Имеем

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8.3. Машина состоит из 1024 стандартных ячеек и множества других элементов. В ЗИПе имеется еще две однотипные ячейки, которые могут заменить любую из отказавших. Все элементы, кроме указанных ячеек, идеальные в смысле надежности. Известно, что интенсивность отказов ячеек есть величина постоянная, а среднее время безотказной работы машины с учетом двух запасных ячеек m_tc=60 час. Предполагается, что машина допускает короткий перерыв в работе на время отказавших ячеек. Требуется определить среднее время безотказной работы одной ячейки m_t=m_ti, i= . Определить вероятность безотказной работы резервированной системы P_c(t), частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _c(t) резервированной системы.

Задача 8.4. Система состоит из n однотипных элементов, каждый из которых имеет среднее время безотказной работы m_ti=m_t=1/, i= . Для повышения надежности применено скользящее резервирование, при котором m₀ резервных элементов находятся в ненагруженном режиме. Необходимо найти среднее время безотказной работы резервированной системы m_tc. Определить вероятность безотказной работы резервированной системы P_c(t), если m ₀ = 2, а также частоту отказов f _c (t), интенсивность отказов _с (t) резервированной системы.

Задача 8.5. Бортовая аппаратура спутника включает в себя аппаратуру связи, командную и телеметричекую системы, систему питания и систему ориентации. Аппаратура связи состоит из двух работающих ретрансляторов и одного ретранслятора в ненагруженном резерве. Переключающее устройство предполагается абсолютно надежным. Командная система имеет постоянное резервирование. Системы питания, ориентации и телеметрии резерва не имеют. Заданы интенсивности отказа: каждого комплекта ретранслятора - ₁ , командной системы - ₂ , системы телеметрии - ₃ , системы питания - ₄ и системы ориентации - ₅ . Требуется определить вероятность безотказной работы P_c(t) бортовой аппаратуры спутника. Логическая схема для расчета надежности бортовой аппаратуры спутника представлена на рис. 8.2. Здесь I - аппаратура ретранслятора, II - командная система, III - остальные системы.

Задача 8.6. Блок усилителей промышленной частоты включает в себя n = 4 последовательно соединенных усилителя и один усилитель в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого работающего усилителя = 610 ^-4 1/час. Определить вероятность безотказной работы P_c (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m _tc системы, частоту отказов f_c (t), интенсивность отказов _с (t). Определить также P_c (t) при t = 100 час.

Задача 8.7. Блок телеметрии включает в себя два одинаковых приемника. Интенсивность отказов каждого приемника составляет = 410^-4 1/час. Имеется один приемник в ненагруженном скользящем резерве. Определить вероятность безотказной работы P_c (t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m_tc системы, частоту отказов f_c (t), интенсивность отказов _c (t). Определить P_c (t) при t= 250 час. Определить P_c (t), когда резерв отсутствует.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9.

Расчет показателей надежности резервированных

устройств с учетом восстановления.

Теоретические сведения.

Резервирование, при котором возможно восстановление отказавших элементов, является эффективным средством повышения надежности. Отказ резервированной группы с восстановлением произойдет, если все элементы, составляющие группу, ремонтируются.

При резервировании с восстановлением резерв как бы все время пополняется восстанавливаемыми блоками.

Показатели надежности, как правило, определяются при условии, что в момент включения все элементы работоспособны.

Наиболее часто используются два метода расчета надежности восстанавливаемых систем, которые условно называются: метод интегральных уравнений и метод дифференциальных уравнений.

Будем рассматривать в дальнейшем 2-ой метод. В методе дифференциальных уравнений использовано допущение о показательных распределениях времени между отказами и времени восстановления.

Вначале перечисляются возможные состояния системы и составляется ее математическая (логическая) модель в виде схемы состояний, на которой прямоугольниками или кружками изображаются возможные состояния и стрелками - возможные направления переходов из одного состояния в другое. По схеме состояний составляют систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний.

Для этого целесообразно использовать следующие правила:

• левые части уравнений содержат производные по времени вероятностей соответствующих состояний , а каждый член правой части уравнения получается путем умножения интенсивности перехода, стоящей над стрелкой, связанной с данным состоянием, на соответствующую вероятность состояния;
• знак зависит от направления стрелки (плюс, если стрелка направлена острием к состоянию, и минус в противном случае);
• число уравнений равно числу состояний; система дифференциальных уравнений должна быть дополнена нормировочным условием, состоящем в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.

Решение системы дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа или каким-либо другим методом позволяет определить требуемые показатели надежности.

Когда перерывы в работе системы допустимы, в качестве показателей надежности используют функцию готовности К_г(t) и функцию простоя K_п(t) или коэффициенты готовности K_г и простоя К_п определяемые в виде

(9.1)

Функция готовности K_г(t) равна по определению вероятности того, что в момент времени t система исправна. Фунция простоя К_п(t) равна вероятности того, что в момент времени t система неисправна.

Имеют место соотношения

К_г(t)+K_п(t)=1;

(9.2)

К_г+К_п=1.

Часто рассматривают установивший режим эксплуатации при t. Тогда и система дифференциальных уравнений переходят в систему алгебраических уравнений.

Когда перерывы в работе системы недопустимы, в качестве показателей надежности используются условные вероятности непрерывной безотказной работы в течение заданного времени выполнения задачи при условии, что в начальный момент времени все элементы системы работоспособны. В рассматриваемом случае имеются “поглощающие” состояния и необходимо решить полную систему дифференциальных уравнений при соответствующих начальных условиях.

При нескольких работоспособных состояниях

(9.3)

где n число работоспособных состояний; P_j(t) вероятность jго работоспособного состояния.

Часто число неработоспособных состояний значительно меньше числа работоспособных. При этом удобнее вычислять коэффициент простоя

(9.4)

где P_l(t) вероятность lго неработоспособного состояния; m+1 - общее число состояний.

Особенности расчета

резервированных систем

Система, состоящая из равнодежных одного основного и k резервных элементов, может находиться в любом из (k+2) состояний:

0 - все элементы работоспособны; 1 - один элемент в неработоспособном состоянии; j когда j элементов в неработоспособном состоянии; k+1 когда (k+1) элементы в неработоспособном состоянии.

Предполагается, что при замене работающего элемента на резервный перерыва в работе системы не происходит, поэтому отказ системы наступает при одновременной неработоспособности основного и всех резервных элементов (состояние k+1).

Рассмотрим случай ненагруженного резерва с абсолютно надежным переключателем и с одной ремонтной бригадой, обслуживающей систему (ограниченное восстановление). По предположению, элементы в ненагруженном резерве имеют интенсивность отказов =0. Если число неработоспособных элементов оказывается больше одного, то существует очередь на ремонт.

Схема состояний системы представлена на рис. 9.1. Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

P₀(t)+P₁(t);

:

:

P_j1(t)(+)P_j(t)+P_j+1(t); ; (9.5)

:

:

P_k(t)P_k+1(t).

При t система (9.5) переходит в систему алгебраических уравнений:

P₀+P₁=0;

:

:

P_j1 (+)P_j + P_j+1=0; ; (9.6)

:

:

P_k P_k+1=0.

Для решения системы (9.6) необходимо добавить уравнение

. (9.7)

В результате решения системы (9.6) совместно с уравнением (9.7) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности

; (9.8)

Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными бригадами (неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Схема состояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления представлена на рис. 9.2. В результате решения системы уравнений при P_j(t)=0 получим:

(9.9)

Схемы состояний для системы, состоящей из одного основного и k элементов в нагруженном резерве представлены на рис.9.3. для ограниченного восстановления и на рис.9.4. - для неограниченного.

Рассуждая аналогично, получим:

для ограниченного восстановления

K_г=1K_п; (9.10)

для неограниченного восстановления

(9.10^a)

Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы недопустимы, но ремонт отказавшего элемента производится во время выполнения задачи. Если система состоит из основного элемента и k элементов в нагруженном резерве, то для случая ограниченного восстановления схема состояний представлена на рис.9.5. При попадании системы в состояние (k+1) происходит отказ системы, который недопустим и приводит к невыполнению поставленной задачи.

Вероятность безотказной системы работы

(9.11)

найдена в предположении, что при t=0 в системе нет неиспользованных элементов, т.е.

P₀(0)=1; P₁(0)=... =P_k+1(0)=0.

Вероятность отказа системы в течении времени выполнения задачи также является условной вероятностью и равна

(9.12)

Важным показателем является среднее время безотказной работы

(9.13)

При решении системы уравнений, составленных по схеме состояний рис.9.5. с помощью преобразований Лапласа, целесообразно использовать правило, облегчающее расчет.

Для определения среднего времени безотказной работы достаточно найти преобразование Лапласа вероятности безотказной работы P(s) и подставить в него s=0..

Решение типовых задач

Задача 9.1. Для питания радиостанции используется электроагрегат с двумя генераторами, каждый из которых обладает производительностью, достаточной для нормальной работы: эти генераторы работают поочередно. При отказе работающего генератора в работу включается резервный генератор, а отказавший отключается и ремонтируется. Отказ электроагреграта состоит в прекращении питаниия радиостанции.

Конструкция электроагрегата допускает одновременный ремонт обоих генераторов, имеется нужное число ремонтников. Интенсивность отказов одного генератора равна, а интенсивность восстановления одного генератора равна.

Вычислить коэффициент готовности электроагрегата, если =5. Предполагается показательное распределение времени безотказной работы и времени восстановления.

Решение. Электроагрегат может находится в одном из трех состояний, которые обозначены цифрами:

0 - электроагрегат работоспособен, оба генератора работоспособны.

1 - электроагрегат работоспособен, но один из генераторов отказал и находится в ремонте.

2 - электроагрегат неработоспособен, оба генератора ремонтируются.

Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P₀(t), P₁(t), P₂(t). Эти вероятности при t имеют пределы P₀ , P₁ , P₂ .

Поскольку для рассматриваемого электроагрегата переход из состояния 0 в состояние 1 не нарушает его работоспособности, то

K=P₀+P₁ .

Составим схему состояний (рис.9.6.) и соответствующую этой схеме систему уравнений

P₀(t)+P₁(t);

P₀(t)(+)P₁(t)+2P₂(t);

P₁(t)2P₂(t).

Для определения установившихся значений P₀ и P₁ положим все производные равными нулю. Учитывая, что P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)=1, получаем:

P₀+P₁=0;

P₀(+)P₁+2P₂=0;

P₀+P₁+P₂=1.

Для получения величин P₀, P₁ , P₂ используем правило Крамера:

где определитель, элементами которого являются коэффициенты при P₀, P₁ , P₂; _i определитель, который образуется из путем замены iго столбца коэффициентами правой части системы уравнений. Определим, ₀, ₁ . Имеем

(+) + 2² + 2 =² + 2(+).

Определим P₀, P₁. Получим

Обозначив

получим в результате

Соответственно

При =0,2 получим K=0,98.

Задача 9.2. Связная радиостанция включает в себя приемный и передающий блоки, интенсивности отказов которых одинаковы и равны =10² 1/час. Интенсивность восстановления =2 1/час. Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособности любого из блоков радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок не выключается и в нем могут происходить отказы.

Требуется определить значения коэффициентов готовности и простоя радиостанции.

Решение. Связная радиостанция в любой момент времени может находиться в одной из трех состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок работоспособен;

2 - оба блока неработоспособны.

Радиостанция работоспособна только в состоянии 0 и неработоспособна в состояниях 1 и 2. Схема состояний с соответствующими интенсивностями переходов представлена на рис.9.7. Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:

2P₀(t) + P₁(t);

2P₀(t) (+)P₁(t) + P₂(t);

P₁(t) P₂(t).

При t и переходим к системе алгебраических уравнений

2P₀ + P₁=0;

2P₀ (+)P₁ + P₂ = 0;

P₁ P₂ = 0.

При решении этой системы используем нормировочное условие

P₀ + P₁ + P₂ = 1,

которое может заменить любое из уравнений системы. В результате решения системы уравнений либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим

Коэффициент готовности радиостанции равен

Коэффициент простоя

Подставляя числовые значения, получаем:

K 10²; K = 1 K 0,99.

Задача 9.3. Специализированная бортовая ЭВА состоит из трех блоков (1,2 и3), два из которых (1 и 2) включены последовательно в основную цепь, а блок 3 находится в состоянии ненагруженного резерва (рис.9.8.). Известно также, что интенсивность отказов ₂ блока 2 пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями отказов ₁ и ₃ блоков 1 и 3 (т.е. ₁ = ₃ >> ₂) и устройство эксплуатируется в условиях ограниченного восстановления. Требуется определить коэффициенты готовности K и простоя K. Интенсивность отказов и восстановлений устройства равны соответственно и, причем =.

Решение. Если предположить, что наличие в системе блока 2 не ухудшает ее надежность, то можно выделить следующие три состояния, в которых может пребывать устройство:

0 - блоки 1 и 3 исправны и ЭВА работоспособна;

1 - один из блоков (1 или 3) поврежден и ремонтируется, а система по-прежнему сохраняет работоспособность;

2 - оба блока (1 и 3), а следовательно, и система в целом неработоспособна.

Схема перечисленных состояний приведена на рис.9.9.

Обозначим вероятности указанных состояний в некоторый момент времени t соответственно P₀(t), P₁(t), P₂(t).

Очевидно, что .

Ясно, что K = P₀ + P₁, поскольку переход системы из состояния 0 в состояние 1 (0 1) не отражается на ее работоспособности, а K = P₂ или K = 1 K, так как P₀ + P₁ + P₂ = 1.

Запишем уравнения, соответствующие схеме состояний устройства. В соответствии с (9.5) и рис.9.9. получим

Дополнив систему уравнений нормировочным условием (9.7), при t имеем

P₀ + P₁ = 0,

P₀ (+)P₁ + P₂ = 0,

P₁ P₂ = 0,

P₀ + P₁ + P₂ = 1.

Совместное решение 1-го, 2го и 4-го уравнений системы дает следующий результат

где .

Поскольку = / = 1 по условиям задачи, то, подставив это значение в формулы вероятностей состояний системы, получим P₀ = P₁ = P₂ = 0,3333, поэтому K = P₀ + P₁ = 0,6666, K = P₂ = 1 K = 0,3333

Задача 9.4. Преобразователь “параметр-код” состоит из рабочего блока и блока в ненагруженном резерве. Распределения времен между отказами и восстановления показательные с параметрами = 810³ 1/час, = 0,8 1/час. Требуется определить значения коэффициентов простоя и во сколько раз уменьшается величина коэффициента простоя преобразователя при применении неограниченного восстановления по сравнению с ограниченным.

Решение. Для определения значений коэффициентов простоя для случаев ограниченного и неограниченного восстановления воспользуемся соответственно выражениями (9.8) и (9.9). Число возможных состояний равно трем.

Для ограниченного восстановления

Для неограниченного восстановления

Для рассматриваемой задачи справедливо соотношение >>, и полученные выражения могут быть с достаточной для практики точностью определены приближенно:

Таким образом, при применении неограниченного восстановления по сравнению с ограниченным величина коэффициента простоя уменьшилась в два раза. Значения этих коэффициентов равны:

K_. 10⁴; K_. 0,510⁴.

Задача 9.5. Радиоприемное устройство, состоящее из рабочего блока и блока в нагруженном резерве, рассчитано на непрерывную круглосуточную работу. Через три часа после включения это устройство может получить команду на перестройку режима работы. Интенсивность отказов и восстановления каждого блока равны = 810³ 1/час; = 0,2 1/час. Имеются две дежурные ремонтные бригады. Определить вероятность застать радиоприемное устройство в неработоспособном состоянии через три часа после включения (значение функции простоя) и значение коэффициента простоя.

Решение. Радиоприемное устройство в любой момент времени может находиться в одном из следующих состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок неработоспособен;

2 - оба блока неработоспособны;

При нахождении в состояниях 0 и 1 устройство работоспособно, в состоянии 2 - устройство неработоспособно. Схема состояний устройства с соответствующими интенсивностями переходов представлена на рис.9.10. Система дифференциальных уравнений, составленная по этой схеме, имеет вид

2P₀(t) + P₁(t);

2P₀(t) (+)P₁(t) + 2P₂(t);

P₁(t) 2P₂(t).

Для определения функции простоя решим эту систему при начальных условиях P₀(0) = 1; P₁(0) = P₂(0) = 0. Переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений:

(s + 2)P₀(s) P₁(s) = 1;

2P₀(s) + (s + +)P₁(s) 2P₂(s) = 0;

P₁(s) + (s + 2)P₂(s) = 0.

Для получения величин P_i(s) используем правило Крамера

где определитель, элементами которого являются коэффициенты при P₀(s), P₁(s), P₂(s); _i определитель, который образуется из путем замены iго столбца коэффициентами правой части системы.

В рассматриваемом случае требуется определить функцию простоя, равную P₂(t). Для этого запишем определители и ₂:

Следовательно

Найдем корни уравнения

s² + 3(+)s + 2(+)² = 0.

Имеем

= 0,53(+) (+).

Следовательно, s₁ = 2(+); s₂ = (+).

Запишем P₂(s) в виде

Определим A, B, C. Имеем

Производя обратное преобразование Лапласа P₂(t) = L¹ {P₂(s)},

получим

P₂(t) = A1(t) +

Так как

s₁ s₂ = -(+),

то

Используя это выражение, определяем коэффициент простоя при t

Подставляя числовые значения, получаем

K (3)= 210⁴; K = 1,510³.

Задача 9.6. Вычислительное устройство состоит из рабочего блока и блока в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны = 210² 1/час; = 2 1/час.

При одновременной неисправности обоих блоков устройство неработоспособно. Определить среднее время безотказной работы устройства m_t.

Решение. Вычислительное устройство в любой момент времени может находиться в одном из следующих состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок неработоспособен;

2 - оба блока неработоспособны.

Схема состояний устройства представлена на рис.9.11. Для определения m_t сначала необходимо определить вероятность непрерывной безотказной работы в течении времени t. Система дифференциальных уравнений, полученная по схеме состояний, имеет следующий вид:

P₀(t) + P₁(t);

P₀(t) (+)P₁(t);

P₁(t).

Начальные условия:

P₀(0) = 1; P₁(0) = P₂(0) = 0.

При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений относительно изображений:

(s+)P₀(s) P₁(s) = 1;

P₀(s) + (s + +)P₁(s) = 0;

P₁(s) + sP₂(s) = 0.

Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим

Раскладывая P₂(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лапласа, определяем вероятность P₂(t) попадания за время (0, t) в состояние 2

где обозначено

Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы вычислительного устройства за время (0, t) равна

Среднее время безотказной работы m_t равно

Задача 9.7. Радиолокационная станция сопровождения содержит рабочий блок и блок в нагруженном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны соответственно и. Время сопровождения в среднем составляет величину t_c. При одновременной неработоспособности обоих блоков сопровождаемая цель теряется и происходит отказ станции. При переходе на резервный блок потери цели не происходит.

Требуется определить вероятность непрерывной безотказной работы в течение времени (0, t_c), или, иначе, вероятность непопадания в состоянии 2 на этом интервале и среднее время безотказной работы станции m_t.

Решение. Радиолокационная станция сопровождения в любой момент времени может находиться в одном из следующих состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок неработоспособен;

2 - оба блока неработоспособны.

Схема состояний представлена на рис.9.12. Работоспособными являются состояния 0 и 1, неработоспособным - 2. Следовательно, вероятность непопадания в состояние 2 за время t_c определяется как

(t_c) = P₀(t_c) + P₁(t_c) = 1 P₂(t_c).

Для определения вероятности по схеме состояний составим систему дифференциальных уравнений:

2P₀(t) + P₁(t);

2P₀(t) (+)P₁(t);

P₁(t).

При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений относительно изображений при P₀(0) = 1; P₁(0) = P₂(0) = 0:

(s + 2)P₀(s) P₁(s) = 1;

2P₀(s) + (s + +)P₁(s) = 0;

P₁(s) + sP₂(s) = 0.

Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера, получим:

Раскладывая P₂(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лапласа, определяем вероятность попадания в состояние 2 за время (0, t_c):

где обозначено

Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы радиолокационной станции за время (0, t_c) равна:

Для определения среднего времени безотказной работы станции m_t запишем преобразование Лапласа для вероятности безотказной работы P(s) и подставим в него s = 0:

Задача 9.8. Станция радиорелейной связи включает два работающих приемопередающих блока и один блок в ненагруженном резерве. Наработка на отказ каждого работающего блока m_t=200 час; среднее время восстановления одного блока m=2 час. Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособности двух блоков станции третий блок выключается и в нем не могут происходить отказы. Требуется определить коэффициент простоя станции.

Решение. Возможны следующие состояния радиорелейной связи:

0 - все блоки работоспособны;

1 - неработоспособен один блок;

2 - неработоспособны два блока.

При неработоспособности одного блока блок из ненагруженного резерва переводится в рабочее состояние. Работоспособными являются состояния 0 и 1, неработоспособным - состояние 2.

Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P₀(t), P₁(t), P₂(t). Эти вероятности при t имеют пределы P₀, P₁, P₂. В рассматриваемом случае K = P₂, т.к. состояние 2 является неработоспособным.

Составим схему состояний (рис.9.13.) и соответствующую этой схеме систему уравнений

2P₀(t) + P₁(t);

(+ 2)P₁(t) + 2P₀(t) + P₂(t);

2P₁(t) P₂(t).

Для определения установившегося значения P₂ положим все производные равными нулю. Учитывая, что P₀(t) + P₁(t) + P₂(t) =1,

получаем

2P₀ + P₁ = 0;

2P₀ (+ 2)P₁ + P₂ = 0;

P₀ + P₁ + P₂ = 1.

Для получения величины P₂ используем правило Крамера:

где

Следовательно

при >>

Так как при показательном распределении времени безотказной работы и времени восстановления

1/час; 1/час,

то

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.9. Радиорелейная станция содержит два приемопередатчика, один из которых используется по назначению, а второй находится в ненагруженном резерве. Определить среднее время безотказной работы станции m_t при условии, что для каждого приемопередатчика =210 ³ 1/час; = 0,2 1/час.

Задача 9.10. Регистрирующее устройство содержит рабочий блок и блок в нагруженном резерве. Вероятность отказа блока в течение 25 часов q(t_i) = 0,1. Ремонт производится одной бригадой с интенсивностью = 0,2 1/час. Определить коэффициент простоя регистрирующего устройства.

Задача 9.11. Система связи содержит одно устройство, предназначенное для выполнения задачи и одно устройство в нагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого устройства равна 1/час, восстановления 1/час. Ремонт устройств производится независимо друг от друга. Определить функцию готовности.

Задача9.12. Система сопровождения состоит из рабочего блока и блока в нагруженном резерве. Для каждого блока заданы: = 210 ³ 1/час, = 0,2 1/час. Определить время безотказной работы системы.

Задача 9.13. Преобразователь “параметр-код” состоит из рабочего блока и блока в нагруженном резерве. Распределения времен между отказами и восстановления показательные с параметрами = 8 10³ 1/час, = 0,8 1/час.

Требуется определить значения коэффициентов простоя и во сколько раз уменьшается величина коэффициента простоя преобразователя при применении неограниченного восстановления по сравнению с ограниченным.

Задача 9.14. Устройство состоит из двух одинаковых блоков, один из которых использутся по прямому назначению, а второй находится в нагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого блока = 6 10³ 1/час, интенсивность восстановления = 2 1/ час. Ремонт производится одной ремонтной бригадой. Требуется определить коэффициент простоя устройства.

Задача 9.15. Усилитель состоит из двух равнонадежных блоков, для каждого из которых = 310 ³ 1/час. Имеется усилитель в ненагруженном резерве. Ремонт производит одна бригада, среднее время ремонта m = 0,5 час. Определить коэффициент простоя усилителя с резервом.

Задача 9.16. Усилитель состоит из двух равнонадежных блоков, для каждого из которых = 310 ³ 1/час. Применено поблочное резервирование усилителя в ненагруженном режиме. Ремонт производит одна бригада, среднее время ремонта m = 0,5 час. Определить коэффициент простоя усилителя с поблочным резервированием.

Задача 9.17. Вычислитель состоит из двух одинаково рабочих блоков и одного блока в нагруженном скользящем резерве. Для каждого блока = 810 ³ 1/час; = 1 1/час, ремонтных бригад две. Определить коэффициент простоя вычислителя.

Задача 9.18. Вычислитель состоит из двух одинаковых рабочих блоков и одного резервного блока в ненагруженном резерве. Для каждого блока = 8 10³ 1/час; = 1 1/час, ремонтных бригад две. Определить коэффициент простоя вычислителя.

Задача 9.19. Генератор импульсов содержит один рабочий блок, один блок в нагруженном резерве и один блок в ненагруженном резерве. При неработоспособности рабочего блока или блока в нагруженном резерве блок из ненагруженного резерва переводится в нагруженный. Задано для каждого блока = 10 ² 1/час, = 0,5 1/час, ремонтная бригада одна. Определить коэффициент простоя генератора.

Задача 9.20. Передатчик содержит рабочий блок (= 910 ³ 1/час) и блок в облегченном резерве (= 10 ³ 1/час). Определить коэффициент простоя передатчика при условии, что ремонт производится одной бригадой с интенсивностью = 0,3 1/час.

Задача 9.21. Преобразователь частоты содержит один рабочий блок и один блок в нагруженном резерве. Ремонт производится одной бригадой, обеспечивающей среднее время восстановления 0,5 час. Определить пр