Аксонометрия

Задание точек, прямых и плоскостей. Основные позиционные задачи аксонометрии.

Задание точек, прямых и плоскостей:

АКСОНОМЕТРИЯ

(от греч. ахоn - ось и ...мет" рия) - способ изображения предметовна чертеже. Предмет вместе со связанной с ним системой координат проецируют на нек-рую плоскость; приэтом изменяются отрезки, взятые на координатных осях. Наиболее часто встречаются А., при к-ройодинаково изменяются все 3 координатных отрезка (изометрия), и А., при к-рой одинаково изменяются лишь2 координатных отрезка (д и м е т р и я).

Если на плоскости Σ задать изображение {O, A1, A2, A3} аффинного репера R′ = {O′, A1 ′, A2 ′, A3 ′}, то, можно построить изображение М для любой точки М' простран- ства по ее координатам относительно репера R'. Точку М называют аксонометрической82 проекцией точки М', а изображения Mi точек Mi ′ – вторичными проекциями точки М'.

Прямая l′ пространства определяется любы- ми двумя своими точками М' и N'. На плоскости Σ мы получим прямую l = (MN) – аксонометриче- скую проекцию прямой l′ и три ее вторичные проекции: ()

Основные позиционные задачи аксонометрии:

Задача построения изображения точек пересечения фигур 1 2 F′,F′ называется позиционной задачей. Такие за- дачи удобно решать, пользуясь методом аксонометрии.

Задачи, в которых по данным инциденциям (взаимным расположениям фигур) требуется построить новую, называются позиционными.

Приведите примеры позиционных задач, которые вы знаете?(ребята могут при- вести следующие примеры: нахождение точки пересечения прямой и плоскости, нахожде- N’ А ’ В ’ С0 ’ S M. M ’. N ’.. А ’ B ’ C ’ A ’ B ’ C ’ M ’ M ’ N ’ N ’84 ние линии пересечения двух плоскостей,, построения сечения многогранника плоскостью и т.д.) Т.об. можно выделить три основных типа задач: - инциденция точек, прямых и плоскостей; - задачи на сечения; - инциденция прямых и поверхностей.

Позиционные задачи на полных изображениях имеют вполне определенное реше- ние, иначе говоря, их решение не имеет никакого произвола (и выполняются аналогично соответствующим построениям в оригинале). Если же изображение не полное, то решая позиционную задачу, некоторые элементы можно задавать произвольно. Мы будем рассматривать задачи первых двух типов.

3. Т.: На полных изображениях можно построить сечения призм, пирамид, цилинд- ров и конусов плоскостью.

4. Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки данного многогранника. Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плос- кость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника.

6. Рассмотрим секущую плоскость α и грани многогранника. Что значит постро- ить линию пересечения двух плоскостей? Что такое вершины сечения многогранника? Что такое стороны сечения многогранника? (вершины- следы секущей плоскости на ребра многогранника, стороны- следы секущей плоскости на грани многогранника). Таким образом, решение позиционных задач сводится к многократному примене- нию построений следа прямой и плоскости и двух плоскостей