Методика обучения алгебре и началам анализа в старшей школе

1) изучение содержания школьного курса алгебры и начал анализа «с точки зрения высшей»

и с точки зрения учителя математики;

2) формирование представлений о математическом анализе как форме описания и методе

познания действительности, об идеях и методах математического анализа;

3) изучение теории обучения алгебре и началам анализа с позиций дидактики, теории

учебной деятельности и методов математики;

4) изучение методической системы обучения алгебре и началам анализа и ее вариантов;

5) развитие и совершенствование умений решать учебные и методические задачи, связанные

с математическими задачами в курсе алгебры и начал анализа;

6) формирование интеллектуальных умений, умений и навыков математической и

методической деятельности (на материале курсов алгебры и начал анализа), овладение

языком математического анализа;

7) изучение элементов технологического подхода к обучению алгебре и началам анализа;7

8) формирование умений осуществлять дифференцированное обучение алгебре и началам

анализа и педагогическую коррекцию.

13. Линии тождественных преобразований в школьном курсе математики.

Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основании у учащихся формируется представления об аналитических методах математики. Изучение тождественных преобразований, во-первых, име­ет самостоятельное значение. Во-вторых, тождественные преобразования играют роль вспомога­тельного «инструмента» при решении уравнений и неравенств, при ис­следовании функций и ряде других тем школьного курса математики. В-третьих, тождественные преобразования имеют большое воспи­тательное значение, так как они способствуют развитию у учащие операционного мышления, воспитанию таких качеств личности как целеустремленность самостоятельность.

В учебниках алгебры даются следующие определения понятия тождество:

1) Равенство, верное при любых значениях переменных называется тождеством;

2) Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных называется тождеством;

3) Равенство, верное при любых значениях переменных, принадлежащих данному множеству называется тождеством на этом множестве.

Существует два основных подхода к изложению раздела «Тож­дественные преобразования»: алгебраический и функциональный. В V классе развитие культуры устных вычислений начинается с повторения устной нумерации, которая постепенно расширяется миллиардом. Повторяются арифметические действия и их свойства Расширяется и обобщается понятие о числе, вводятся новые дей­ствия и тождественные преобразования совершенствуются (введе­ние дробных и отрицательных чисел в VI классе, рациональных чисел в VII классе, изучение степеней и корней и т.д.). Затем в стар­ших классах тождественные преобразования усложняются в связи с рассмотрением логарифмов, тригонометрических функций.

При изучении тождественных преобразований учитель должен показать учащимся образцы рассуждений, полезны и общие указания типа: перед вычислением или преобразованием выяснять: последовательность выполнения действий, преобразовали; какие действия можно выполнить устно; нельзя ли применить свойства действий для упрощения вычислений; вести ли запись в виде цепочки равенств или по нумерованным действиям (частям) или составить удобную вычислительную схему; как проверить результат.

14. Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Значительная часть материала функциональной линии относит­ся к изучению класса функций, получивших название элементар­ных. К элементарным принадлежат целые функции, рациональные функции, степенные, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратные тригонометрические функции, а также различные их комбинации. Изучение конкретных функций полезно проводить по следующей методической схеме:

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту фор­мулу параметров.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

4. Использовать изученные свойства функций при решении за­дач, в частности уравнений и неравенств.

Функция вида у=ах+b называется линейной.

Понятие степенной функции дается в XI классе, только после изу­чения тем дифференциального и интегрального исчислений, пока­зательной и логарифмической функций. Поскольку производная уже известна, то исследование функции проводится по полной схеме.

Элементарные функции: целые, рациональные, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и их комбинации. В классе элементарных функций имеются две группы операций:

1) арифметические;

2) операции композиции и обращения функций.

Введение арифметических операций над числовыми функциями неявно. По существу происходит перенос действий из одной области в другую неосознанно. Решение заданий на сравнение значения и или аналогичных значений для других одноименных функциональных и числовых операций позволит осознать действие операций.

15. Методика изучения уравнений и не равенств в школьном курсе математики

Уравнения и неравенства и их системы представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разно­го рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математи­ческие модели.

Уравнение рассматривается как равенство значений двух функций. Два предложения называются равносильными, если из первого следует второе, а из второго следует первое. На понятии равносильности основан принцип решения урав­нений и неравенств.

Равносильность уравнений и неравенств. Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или они оба не имеют решений.

В настоящее время в школьном курсе математики никаких тео­рем о равносильности не доказывается, основной акцент делает­ся на раскрытие понятия равносильности. Виды уравнений и неравенств, рассматриваемые в школьном курсе математики, и методические особенности их изучения. Уравнения вида f(x) = g(x), где/(х) и g(x) - целые выражения Алгоритм решения уравнения вида f(x) = g(x) состоит в том, что, прибавим к обеим частям (-g(x)), получим уравнениеf(x)> - g(x) = 0 равносильное исходному.

Виды уравнений и неравенств: рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные.

Рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее "освобождение" от радикалов по формул.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Логарифмическим уравне нием называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании. log _a x = b.

Тригонометрические неравенства – это неравенства, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции

16. Геометрия как школьный предмет.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Геометрия как учебный пред мет обладает большим потенциалом в решении задач согласования работы образного и логического мышления, так как по мере развития геометрического мышления возрастает его логическая составляющая.

Целью изучения геометрии, конечно, является знание. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

Научной и нравственной основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстрагирования в действия и научились замечать его в окружающей действительности. Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство. Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Аксиома –утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

В геометрии (и вообще, в математике) существуют понятия, которым невозможно дать осмысленное определение. Мы их принимаем как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой линии являются начальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям.

17.Методика изучения элементов тригонометрии.

В математике тригонометрические функции часто определяются аналитическим путем: с помощью степенных рядов, как решения диф­ференциального уравнения, как интегральные представления. Триго­нометрические функции могут быть определены геометрическими средствами. Существу­ют различные варианты изложения элементов тригонометрии в школь­ном курсе математики.

Традиционная методическая схема изучения тригонометричес­ких функций такова: вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; затем введенные понятия обобщаются для углов от 0° до 180°.

Геометрический харак­тер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начина­ют изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Определенные трудности в изучении элементов тригонометрии порождает следующая теорема: «Косинус угла зависит только от градусной меры угла».

В курсе алгебры и начал анализа осуществляется последний, зак­лючительный этап изучения тригонометрических функций. В него входят:

- закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

- формирование представлений об углах с градусной мерой, большей 360°, формирование представлений об углах с по­ложительной и отрицательной градусными мерами, перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действи­тельные числа);

- описание тригонометрических функций на язы­ке радианной меры угла;

- утверждение функциональной точки зрения на cos a, sin а и tg а (трактовка cos a, sin а и tg а как функ­ций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление про­межутков монотонности, знакопостоянства и т. д.);

- повторение из­вестных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождества­ми.

Виды тригонометрических фенкций:

Функция синус y = sin x.

Свойства функции синус:

1. Функция синус y = sin x является нечетной;
2. y = sin x является возрастающей в интервале, в интервале убывает, а в интервале вновь возрастает;
3. Область определения функции синус – вся числовая прямая;
4. Множество значений функции синус от -1 до 1;
5. Функция y = sin x является периодичской с периодом 2Пи.

Функция косинус y = cos x.

Свойства функции косинус:

1. Функция косинус y = cos x является четной;
2. y = cos x является убывающей в интервале, в интервале возрастает, эти интервалы проходим против часовой стрелки;
3. Область определения функции косинус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции косинус от -1 до 1;
5. Функция y = cos x является периодичской с периодом 2Пи.

Функция тангенс y = tg x.

Свойства функции тангенс:

1. Функция тангенс y = tg x является нечетной;
2. y = tg x возрастает в интервале [-Пи/2, Пи/2];
3. Область определения функции тангенс интервал [0, Пи], кроме точки Пи/2;
4. Множество значений функции тангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = tg x является периодичской с периодом Пи.

Функция котангенс y = ctg x.

Свойства функции котангенс:

1. Функция котангенс y = ctg x является нечетной;
2. y = ctg x убывает в интервале [0, Пи];
3. Область определения функции котангенс интервал от нуля до Пи, кроме точек ноль и Пи;
4. Множество значений функции котангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = ctg x является периодичской с периодом Пи.