Приступая к изучению понятия производной

целесообразно:

а) повторить все вопросы, связанные с линейной функцией и элементарными функциями, так как основная идея дифференциального исчисления – представление о функции как о линейной в достаточно малой окрестности некоторой точки;

б) отработать такие понятия как приращение функции и приращение аргумента. Это понятие иллюстрируется с помощью графиков функций;

в) важно не просто ввести понятие приращения, но выработать у учащихся твердые навыки в их нахождении, с этой целью можно предложить учащимся ряд задач по нарастанию трудности;

г) выяснить геометрический смысл отношение приращения функции к приращению аргумента, ввести понятие касательной к кривой как предельного положения секущей. После того как эти понятия отработаны. Переходят к введению понятия производной.

2. В предыдущих учебных пособиях введение этого понятия начинали с решения задач физического содержания и необоснованно отрывали геометрический смысл от производной. Лучший вариант – это рассмотреть задачу о мгновенной скорости, о геометрическом смысле производной именно на этапе введения производной.

3. Вопросы приложения производной в школе оправдано лишь в том случае, если оно применяется. Основные направления применения: к решению задач на отыскание наименьшего и наибольшего значения функции на интервале, к исследованию функций, к решению физических задач, к приближенным вычислениям, к построению касательной.

Основная цель изучения темы: ввести понятие производной, научить находить производные элементарных функций, ознакомить учащихся с простейшими методами дифференцирования функций и выработать умение применять их для исследования функций, построение графика, решение задач прикладного характера.

Ввести понятие производной можно по-разному: классическим в этом отношении являются задачи: вычисление мгновенной скорости движения с переходом на нахождение скорости и изменение функции в точке; вычисление углового коэффициента касательной к графику функции в данной точке. Функция, имеющая производную в точке х0 называется дифференцируемой в точке х0. Операция нахождения производной в точке х0 называется дифференцированием. При введении понятия производной в учебнике Колмогорова реализуются 2 подхода. В пункте приращение функций вводится понятие приращения аргумента и приращения функции. С помощью введенных обозначений выражается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени.

В следующем пункте дается понятие о производной, предварительно рассматривается понятие о касательной к графику функции. Дальше ставится задача определить точное положение касательной, т.е. найти угловой коэффициент касательной и сравнивается с задачей нахождения мгновенной скорости. Делается обобщение на любую функцию заданную с помощью формулы и дается определение производной.

20. Методика изучения первообразной в школьном курсе математики

Методическая схема изучения первообразной: рассмотреть примеры взаимно обратных операций; ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования; выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция есть первообразная другой данной функции ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции "; ознакомить учащихся с основным свойством первообразной; составить таблицу первообразных; ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных; решить физические задачи с