Экзаменационный билет № 11

Отношения логического следования и равносильности между математическими предложениями. Примеры предложений из начального курса математики, находящихся в отношении логического следования (равносильности).

Отношение следования. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна. из А следует В, когда А и В истинны. как и любое высказывание, предложение А(х)-»В(х), может быть истинным или ложным. истинность устанавливается с помощью доказательства, а ложность-контпримером.

истинно- всякое число оканчивающееся на 6 делится на 2. ложно-для того, чтобы число делилось на 5, необходимо чтобы число оканчивалась на 0. 35:5=7

пример: всякий квадрат является прямоугольником. В данном высказывании можно выделить два предложения: А(х) «четырехугольник-квадрат» и В(х) «четырехугольник-прямоугольник». они находятся в отношении следования: А(х) -»В(х), которое выражено предложением со словом всякий. ответ- из того,что четырехугольник-квадрат, следует, что он прямоугольник; если четырехугольник-квадрат, то он прямоугольник.

Отношение равносильности. Предложения А(х) и В(х)равносильны, если из предложения А(х)следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х). используют знак ↔(равносильно).

пример: число делится на 3 и сумма цифр в записи числа делится на 3-равносильны= число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.

12. Дедуктивные умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Примеры дедуктивных умозаключений, выполняемых детьми при изучении математики в начальных классах.

Умозаключение (Ум.)- способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Ум. Состоит из Посылок (высказываний, содержащих исходное знание) и Заключения (выск-я, содержащие новые знания, полученные из исходных).

Дедуктивное умозаключение – посылки и заключения находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.

Схематично Дедукт.Ум-е обозначается A_1,А _2….А _n В (Где А-посылки, В-заключение

Или A_1,А _2….А _n Черта заменяет слово «Следовательно»)

В

Схемы дедуктивных умозаключений:

Правило заключения: А(х) => В(х) –общая посылка; А(а)-частная посылка,получается из условия А(х) при х= а. Предложение В(а) — это заключение, оно получается из В(х) при х = а. Посылки отделены от заключения чертой, которая заменяет слово «следовательно».

Пр: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 75 оканчивается цифрой 5, следовательно число делится на 5.

Правило отрицания: Пр: Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на5. Число 88 не делится на 5.Следовательно,оно не оканчивается цифрой 5. Общая посылка такая же, как и в предыдущем Ум., а частная представляет собой отрицание высказывания «число 88 делится на 5 (т.е. это В(88)). Заключе­ние— это отрицание предложения «Запись числа 88 не оканчи­вается цифрой 5» (т.е. А(88)).

Правило силлогизма:Пр: Если число х делится на 4, то оно делится на 2. Если число х делится на 2, то оно четное. Следовательно, если число х делится на 4, то оно четное.

В этом умозаключении две посылки вида «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где А{х) — это предложение «х: 4», В(х) — предложение «х:2» и С(х) — предложение «х –четное число». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х)».

Пример из нач.школы: Ученику предлагается объяснить, почему число 36 можно представить в виде суммы 30 + 6. Он рассуждает: «Число 36 — двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно,число 36 тоже можно представить в виде суммы разрядных слагаемых 36 = 30 + 6».

Первое и второе предложения в этом умозаключении — посыл­ки, причем одна посылка общего характера — это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы раз­рядных слагаемых», а другая — частная, она характеризует только число 36 — оно двузначное. Заключение — это предложение, кото­рое стоит после слова «следовательно», — также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 36.

Билет 13

Неполная индукция и аналогия, их взаимосвязь с дедуктивными умозаключениями. Примеры умозаключения из нач. курса математики с использованием неполной индукции и аналогии.

Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Пр.: переместительное сво-во (коммутативный закон),

Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии доп.признака у одного из них, делаем вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Дедукция – умозаключение, в котором посылки и умозаключения находятся в отношении логического следования.

Схема дедуктивных отношений:

1. правило заключений:

А(х)=>В(х), А(а)

______________

В(а)

1. правило отрицаний:

А(х)=>В(х), В(а)

______________

А(а)

1. правило силлогизма:

А(х)=>В(х), В(х) => С(х)

_____________________

А(х) =>С(х)

Умозаключение состоит из посылок и заключений. Посылки – высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходных.

Посредством дедуктивных умозаключений "выводят" некоторую мысль из других мыслей, а индуктивные умозаключения лишь "наводят" на мысль.

Дедуктивное умозаключение - это такое умозаключение, в котором мысль развивается от знания большей степени общности к знанию меньшей степени общности, а заключение, вытекающее из посылок с логической необходимостью, носит достоверный характер. Объективной основой дедуктивных умозаключений является единство общего и единичного в реальных процессах, предметах окружающего мира.

Правила дедуктивного вывода определяются характером посылок, которые могут быть простыми или сложными суждениями, а также их количеством. В зависимости от количества используемых посылок, из которых строится вывод, дедуктивные умозаключения бываютнепосредственные и опосредствованные.