Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее прира­щение в этой точке предста­вимо в виде

,

где ― бесконечно малая функция при .

Отсюда если , то

.

Следовательно, при приращение функции и выраже­ние являются эквивалентными бесконечно малыми функци­ями, т. е. при можно приближенно считать, что ∼ .

Определение. Величину , являющуюся главным (линейным) членом приращения функции в точке , называют дифференциа­лом функции и обозначают (или ).

Таким образом, по определению

= .

Найдем дифференциал функции , В этом случае и, следовательно, , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции в точке можно представить в виде

= .

Следовательно, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:

или в более краткой записи .

На рисунке, представленном ниже, дана геометрическая интерпретация дифференциала функции . Так как , то дифференциал функции изме­ряется отрезком , т. е. диффе­ренциал функции в точ­ке изображается приращением ординаты точки касательной, про­веденной в к линии .

Дифференциал функции можно использовать для вычисления приближенных значений функции. Действительно, заменяя прира­щение функции в точке ее дифференциалом, получаем формулу для прибли­женных вычислений:

.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Принимая , , , следовательно, , , .

Тогда: .