Производная сложной функции

Пусть . Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции , если известны производные составляющих ее функций и . Придадим фиксированному значению аргумента приращение . Этому приращению соответствует при­ращение функции . Приращению , в свою очередь, соответ­ствует приращение функции . Составим отношение

,

т.е. .

При приращения , в силу дифференцируемости соответствующих функций стремятся к нулю. Так как по определению

, ,

то для функции .

Функцию иногда называют промежуточным аргументом, а — основным аргументом. Таким образом, можно сформулировать сле­дующее.

Правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргу­мента по основному аргументу.

Полученное правило легко распространяется на сложную функ­цию, зависящую от нескольких аргументов, т. е. на композицию нескольких функций.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Поправилу дифференцирования сложной функции

.