Производная обратной функции

Теорема. Если функция монотонна на отрезке и имеет во всех точках интервала ненулевую производную , то обратная функция дифференцируема во всех точках интервала и для любого ее производ­ная равна .

Доказательство. Пусть функция моно­тонна на отрезке и имеет производную . Пусть, далее, , . Тогда существует обратная (по отноше­нию к функции ) функция , которая является не­прерывной и монотонной на :

.

Дадим фиксированному значению аргумента обратной функции приращение . Этому приращению соответствует приращение обрат­ной функции, причем в силу ее монотонности . Найдем про­изводную обратной функции. По определению

.

⊠

Пример. Найти производную функции, обратной данной .

Решение. Даннаяфункция непрерывна и моно­тонна на всей числовой оси. Следовательно, существует, которая также является не­прерывной и монотонной.

Найдем производную функции :

.

Следовательно,

.