Правило дифференцирования алгебраической суммы функций

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных отдельных слагаемых.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда функции и получат приращения и , а функция — приращение . Таким образом, по определению

.

Так как по предположению функции и дифференцируемы,

.

Следовательно,

.

Это правило легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых

⊠

Правило дифференцирования произведения функций. Производ­ная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый, т. е.

.

Доказательство. Пусть . Когда аргументу придают приращение , то функции , и получают соответственно приращения , и , причем

.

Разделим последнее равенство на

.

В последнем равенстве приращения , и зависят от , а и не зависят от (так как и — значения функции, соответствующие начальному значению аргумента ).

Используя теоремы о пределах функций, находим

.

Так как

и (т.к. функция непрерывна). Итак, окончательно имеем:

.

⊠

Следствие. Пусть функция имеет производную в точке , тогда функция ( — const) также имеет в этой точке произ­водную, причем

.

Правило дифференцирования произведения двух функций ме­тодом математической индукции легко можно распространить на случай любого конечного числа сомножителей

Правило дифференцирования частного функций. Производная дроби (частного двух дифференцируемых функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя дан­ной дроби, а числитель представляет собой разность между произве­дением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя.

Доказательство аналогично доказательству предыдущих двух теорем.

Пример. Найти производную функции .

Решение. .