Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрически:

.

Найдем первую производную функции по переменной , то есть

.

Т.е. .

Найдем вторую производную от функции по переменной . Прямое дифференцирование функции возможно только по параметру и даст в результате смешанную производную . Поэтому для нахождения второй производной от функции по переменной предварительно представим ее в виде:

Тогда .

Аналогично находится третья производная:

и производные высших порядков.

Пример. Найти производные первого и второго порядков от функции , за­данной параметрически:

.

Решение. Найдем первую производную функции по переменной , то есть

.

, .

Следовательно .

Найдем вторую производную от функции по переменной .

.

.

Следовательно .

Ответ: .