При раскрытии неопределенностей полезна следующая теорема, впервые доказанная И. Бернулли.
Теорема (правило Лопиталя). Если функции и удовлетворяют следующим условиям:
1) определены и дифференцируемы на интервале , причем и , за исключением, быть может, точки ;
2) (либо );
3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных
,
то существует также предел отношения функций , причем
.
Доказательство. Приведем доказательство теоремы только для случая раскрытия неопределенностей вида . Доопределим функции и в точке , положив . Доопределенные таким образом функции будут непрерывны в точке .
Рассмотрим отрезок | , где . На этом отрезке функции и непрерывны и дифференцируемы. Следовательно, по теореме Коши существует точка () такая, что
.
Если , то и , поэтому, согласно условию 3 теоремы, из последнего равенства следует, что
.
⊠
Смысл правила Лопиталя заключается в том, что оно позволяет свести вычисление предела отношения функции в случае неопределенности вида или к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.
|
|
Правило Лопиталя справедливо и в случае ¥.
Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.
Пример. Вычислить .
Решение. Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя:
.
Правило Лопиталя здесь применено дважды.
Замечание. Неправомерное применение правила Лопиталя, то есть если не выполняются условия теоремы может привести к неверному результату.