Теоремы о среднем значении

Теоремы о среднем — одно из свойств дифференцируемых функций.Одним из важнейших классов (множеств) функций, изучаемых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс непрерывных функций. Класс дифференцируемых функций является подмножеством множества непрерывных функций. Дифференцируемые функции представляют особый интерес, так как большинство задач техники и естествознания приводят к исследованию функций, имеющих производную. Такие функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играет ряд теорем, объединенных общим названием теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утверждается существование на отрезке такой точки, в которой исследуемая функция обладает тем или иным свойством.

Теорема (Ролля). Пусть функция удовлетворяет следующим условиям на отрезке .

1) определена и непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

3) .

Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что .

Доказательство. Известно, что если непрерывна на , то на этом отрезке она принимает свое наибольшее и наименьшее значения (по теореме Вейерштрасса). Возможны два случая.

1. = .

2. > . Тогда из условия следует, что хотя бы одно из двух значений или функция принимает в некоторой внутренней точке отрезка . Пусть для определенности . Это означает, что r .

Покажем, что . Согласно условию 2 теоремы Ролля, для , в том числе и для точки существует конечная производная функции . Это условие равносильно существованию равных односторонних пределов:

Найдем односторонние пределы. Так как > , то приращение функции r0. Следовательно,

Случай рассматривается аналогично. ⊠

Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале функция принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка с абсциссой , в которой касательная параллельна оси .

амечание. Условия теоремы Ролля являются достаточными, но не необходимыми. Например, функция

определена и непрерывна на [—1; 1], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, однако для нее не выполняется третье условие теоремы Ролля:

. Тем не менее, существует точка

, такая, что

Теорема (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует по крайней мере одна точка , такая, что

. (1)

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Покажем, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:

1) непрерывна на , так как является суммой непрерывных на функций;

2) дифференцируема на , так как является суммой дифференцируемых на функций;

3) .

Тогда по теореме Ролля существует точка , такая, что .

тогда

⊠

Теорему Лагранжа иногда называют также теоремой о конечных приращениях.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в виде:

Геометрически теорема Лагранжа утверждает, что между точками и на дуге найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде , при условии, что в каждой точке дуги существует касательная.

Положим в формуле Лагранжа (1) , . Тогда она примет вид

, (2)

где .

Формула (2) связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют формулой конечных приращений.

Если в формуле Лагранжа (1) положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. В свою очередь обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема (Коши). Пусть функции и удовлетворяют

следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы в интервале , причем .

Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что

. (3)

Доказательство. Составим вспомогательную функцию:

Заметим, что . Действительно, если бы , то для функции на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка нашлась бы по крайней мере одна точка , для которой , что противоречит условию теоремы. Следовательно, .