Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции

Экстремум функции. Особую роль в исследовании поведения функции на множестве играют точки, разделяющие интервалы воз­растания и убывания функции

Определение. Точка называется точкой локального макси­мума (минимума) функции , если существует проколотая -окрестность точки , такая, что для всех выполняется неравенство <0 ( >0) Значение называют локальным максимумом (минимумом) функ­ции и пишут

().

Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции называ­ются экстремумами функции.

Из приведенных рассуждений следует, что экстремумы функции носят локальный характер — это наибольшее или наименьшее зна­чения функции по сравнению с близлежащими ее значениями.

Если функция на имеет несколько максимумов и минимумов, то возможен случай, когда максимум функции меньше ее минимума.

Например, на рисунке точки , являются точками максимума функции , а , — точками ее минимума, но < .

Наименьшее и наибольшее значения функции на в отличие от локальных ее экстремумов называют абсолютными минимумом и максимумом функции и обозначают ,