Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей функции

Рассмотрим случай неубывающей функции.

Необходимость: Пусть не убывает на .

Тогда при >0

r0 >0 r0

.

Достаточность. Пусть r0 . Тогда по формуле Лангранжа имеем . Так как r0 ( < < < < ), то : r0, т. е. не убывает на .

⊠

Теорема. Если же для любого >0 ( <0), то функция возрастает (убы­вает) на этом интервале.

Другими словами:

2) >0 возрастает на ;

4) <0 убывает на .

Доказательство. Докажем теорему для случая возрастающей функции. Пусть >0 на . Тогда для )>0 и поэтому в формуле Лагранжа, верной для ,

.

при < >0, т. e. возрастает на .

⊠

Замечание. Подчеркнем, что условия теоремы для возрастающей и убываю­щей функций достаточны, но не необходимы.

Например, функция возрастает на ] — 1; 1[, однако производная в точке обращается в нуль.

Геометрический смысл теоремы состоит в следующем: касатель­ная к графику возрастающей на функции ( > 0) составляет острый угол с положительным направлением оси ; касательная к графику убывающей на функции ( <0) образует тупой угол с осью . Если функция на является постоянной: = C, С = const, то = 0 и касательная к графику функции параллельна оси .

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена, непрерывна и дифференци­руема на . Для отыскания интервалов монотонности функции найдем :

.

возрастает на некотором множестве, если > 0. Решим неравенство > 0. Оно выполняется при . Следовательно, возрастает на ]2; +¥[. убывает на множестве, где <0. Неравенство < 0 выполняется при .

Итак, функция убывает на интервале ]–¥; 2[, возрастает на ]2; +¥[.