4) Интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа с помощью замены приводится к рекуррентной формуле.
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого — четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение
.
Предположим, что это уравнение решено и найдены его корни. Согласно основной теореме алгебры, уравнение имеет ровно корней с учетом их кратности. Корни уравнения могут быть действительными (простыми или кратными) и комплексными (простыми или кратными). Следовательно, разложение многочлена на линейные и квадратные множители будет иметь вид:
где ― действительные корни многочлена кратности , , ― произведение комплексно сопряженных корней кратности (за пару) .
Теорема. Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
|
|
(1)
где — некоторые действи-тельные числа.
Согласно разложению (1), линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби первого и второго типов, а квадратным множителям — третьего и четвертого типов. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби. Формула (1) разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя.
Проиллюстрируем формулу (1) конкретными примерами, не находя самих коэффициентов разложения:
,
.
Чтобы найти коэффициенты разложения, чаще всего применяют метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (1) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену .
Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов были равны. Учитывая это, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов.
|
|
Пример. Разложить на простейшие дроби.
Решение. Так как , то
,
где числа пока неизвестны. Правую часть этого разложения приведем к общему знаменателю. Тогда
Следовательно,
или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов :
Таким образом,
.
Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях , можно дать переменной несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.
Пример. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби.