2015-06-04
1158
Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную, выраженную через конечное число элементарных функций. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.
Интегралы вида 
(
—целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от 
. Они вычисляются подстановкой 
, где 
— общий знаменатель дробей 
При такой замене переменной все дроби являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной 
.
Пример. Найти 
.
Решение. Так как общий знаменатель дробей 1/2 и 1/3 равен 6, сделаем замену 
. Тогда
Интегралы вида 
. Для нахождения таких интегралов выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка 
(или используется свойство №5 неопределенного интеграла 
). В результате этот интеграл сводится к табличному.
Пример. Найти 
.
