Интегрирование рациональных дробей

Рациональные дроби. Рациональной дробью называется дробь, числителем и зна­менателем которой являются многочлены, т. е. всякая дробь вида

Если степень многочлена в числителе больше или равна степе­ни многочлена в знаменателе ( r ), то дробь называется непра­вильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( < ), то дробь называется пра­вильной.

Например,

, — неправильные дроби,

— правильная дробь.

Всякую неправильную рациональную дробь (, r ) можно представить в виде суммы многочлена (целой части ) и правильной рациональ­ной дроби(, < ):

Это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.

Пример. ,

так как

Пример. ,

так как

Так как интегрирование многочлена не представляет затрудне­ний, то интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) ,

2) , r ,

3) ,

4) , r .

Здесь — действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются не­посредственно с помощью основных правил интегрального исчи­сления:

1) ,

2) ,

3) Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов.

Пример. Найти .