Решение. Придавая последовательно частные значения, равные корням

.

Придавая последовательно частные значения, равные корням , находим:

Таким образом,

.

Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т. е. придавать ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях .

Итак, сформулируем

Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить сле­дующие действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь — неправильная ( r ), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где < ; — многочлен;

2) если рассматриваемая рациональная дробь — правильная ( < ), представить ее в виде суммы простейших ра­циональных дробей по формуле (1);

3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

Пример. Найти .

Решение. Подынтегральная дробь — неправильная, поэтому выделим сна­чала ее целую часть и проинтегрируем ее, а полученную правильную дробь разло­жим на простейшие дроби и также проинтегрируем:

Разложение правильной рациональной дроби рассматривалось в предыдущем примере, поэтому запишем результат:

,

Следовательно,

Пример. Найти .

Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную ра­циональную дробь, разложим ее на простейшие дроби и проинтегрируем:

.

Для нахождения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, т. е. приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Следовательно,

,

.