Рассмотрим условия интегрируемости функций на отрезке , т. е. условия существования определенного интеграла. При определении его как предела интегральной суммы мы предполагали, что функция ограничена на отрезке . Условие ограниченности функций на отрезке является необходимым условием интегрируемости функций, т. е. справедлива следующая
Теорема. Если существует, то функция ограничена на отрезке .
Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , т. е. что существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.
Сформулируем без доказательства достаточное условие интегрируемости функции.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует .
Отметим, что интеграл Римана существует для значительно более широкого класса функций, нежели рассматриваемый класс непрерывных функций. В частности, справедлива следующая теорема, обобщающая предыдущую теорему
|
|
Теорема. Если функция ограничена на отрезке и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует .