Условия интегрируемости функций

Рассмотрим условия интегрируемости функций на отрезке , т. е. условия существования определенного интеграла. При опреде­лении его как предела интегральной суммы мы предпо­лагали, что функция ограничена на отрезке . Условие огра­ниченности функций на отрезке является необходимым усло­вием интегрируемости функций, т. е. справедлива следующая

Теорема. Если существует, то функция ограничена на отрезке .

Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , т. е. что существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

Сформулируем без доказательства достаточное условие интегри­руемости функции.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует .

Отметим, что интеграл Римана существует для значительно более широкого класса функций, нежели рассматриваемый класс непре­рывных функций. В частности, справедлива следующая теорема, обобщающая предыдущую теорему

Теорема. Если функция ограничена на отрезке и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует .