Основные свойства определенного интеграла. Рассмотрим свойства определенного интеграла, доказательство которых основывается на определении определенного интеграла

Рассмотрим свойства определенного интеграла, доказательство которых основывается на определении определенного интеграла.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны ( = ), то интеграл равен нулю:

2. Если = 1, то

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определен­ного интеграла:

.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: .

6( Аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы и , то существует также интеграл и для любых чисел , ,

.

Геометрический смысл свойства 6 состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и .

7. Если r0 для , то

r0, ()

8 (Монотонность определенного интеграла). Если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству r для , то

r , ()

9 (Об оценке определенного интеграла). Если и — соот­ветственно наименьшее и наибольшее значения функции , не­прерывной на отрезке , то

b b . (1)

Доказательство. По условию b b для , следовательно, по свойству 8

b b b b ,

b b .

⊠

На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 9 в случае, когда r0 . Площадь прямоугольника равна , площадь прямоугольника равна . Из неравенства (1) следует, что площадь криволинейной трапеции не меньше площади первого прямоугольника и не больше площади второго.

10 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на от­резке , то существует такая точка , что

. (2)

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произ­ведению значения подынтегральной функции в некоторой промежу­точной точке отрезка интегрирования и длины этого отрезка.

Доказательство. Так как непрерывна на отрезке , то она по теореме Вейерштрасса до­стигает на своего наименьшего и наибольшего значений, т. е.

b b для .

Из данного неравенства на основании свой­ства 9 имеем

b b .

Разделив все члены двойного неравенства на > 0, получим

b b

Обозначим , тогда b b .

Другими словами, число находится между наимень­шим и наибольшим значениями функции . Поскольку непрерывная на отрезке функция по теореме Больцано-Коши принимает все промежуточные значения, лежащие между и , в том числе и значение , то суще­ствует , такое, что = , то есть

, .

⊠

Число при этом называется интеграль­ным средним значением функции на отрезке .

На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 10 в случае, когда > 0 . Так как значение () числен­но равно площади прямоугольника с основанием и высотой , то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции .