2015-06-04
1640
Рассмотрим свойства определенного интеграла, доказательство которых основывается на определении определенного интеграла.
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (
= 
), то интеграл равен нулю:
2. Если 
= 1, то
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
.
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на 
функций 
равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: 
.
6( Аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы 
и 
, то существует также интеграл 
и для любых чисел , , 
.
Геометрический смысл свойства 6 состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями 
и 
.
7. Если 
r0 для 
, то
r0, (
)
8 (Монотонность определенного интеграла). Если интегрируемые функции и 
удовлетворяют неравенству r для , то
r 
, ()
9 (Об оценке определенного интеграла). Если 
и 
— соответственно наименьшее и наибольшее значения функции , непрерывной на отрезке , то
b b 
. (1)
Доказательство. По условию b b для , следовательно, по свойству 8
b b 
b b 
,
b b .
⊠
На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 9 в случае, когда r0 . Площадь прямоугольника 
равна , площадь прямоугольника 
равна . Из неравенства (1) следует, что площадь криволинейной трапеции 
не меньше площади первого прямоугольника и не больше площади второго.
10 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то существует такая точка 
, что
. (2)
т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования и длины 
этого отрезка.
Доказательство. Так как непрерывна на отрезке , то она по теореме Вейерштрасса достигает на своего наименьшего и наибольшего значений, т. е.
b b для .
Из данного неравенства на основании свойства 9 имеем
b b .
Разделив все члены двойного неравенства на > 0, получим
b 
b
Обозначим 
, тогда b 
b .
Другими словами, число находится между наименьшим и наибольшим значениями функции . Поскольку непрерывная на отрезке функция по теореме Больцано-Коши принимает все промежуточные значения, лежащие между и , в том числе и значение , то существует , такое, что 
= , то есть
, .
⊠
Число при этом называется интегральным средним значением функции на отрезке .
На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 10 в случае, когда > 0 . Так как значение () численно равно площади прямоугольника с основанием и высотой , то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции .
