Определенный интеграл с переменным верхним пределом

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоян­ными пределами интегрирования и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования , а верхний изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида

называется определенным интегралом с переменным верхним пре­делом и является функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .

С геометрической точки зрения, функция в случае r0 представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволи­нейной трапеции.

Найдем производную от по , т. е. производную определен­ного интеграла по верхнему пределу.

Теорема. Производная опре­деленного интеграла от непрерыв­ной функции no его перемен­ному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функ­ции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено зна­чение верхнего предела:

.

Доказательство. Возьмем любую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Тогда

.

Используя аддитивность определенного интеграла, имеем

.

Применяя теорему о среднем, получаем

,

где .

По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:

.

⊠

Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции на отрезке .

,

т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.

Так как интеграл существует для любого значения ,то данная теорема является одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной функции . Этой первообраз­ной может быть определенный интеграл с переменным верхним пре­делом.