Основы вариационного исчисления

Синтез оптимального управления.

Поиск функций, обеспечивающий экстремум функционала рассматривается в теории вариационного исчисления.

Переменная величина I(x) называется функционалом, зависящим от функции x(t), если каждой функции x(t), принадлежащей некоторому классу функций x, ставится в соответствие значение функционала I.

Функционал -функция от функции.

;

- интегрально-квадратичная ошибка;

- средний квадрат ошибки.

Приращением или вариацией аргумента называется малая разность между двумя функциями: .

Функционал называют непрерывным, если малому изменению функции соответствует малое изменение функционала.

Линейный функционал удовлетворяет условиям:

- ;

- .

Если приращение функционала можно записать как сумму двух частей: где

- линейно зависящая от вариации функции

- остаток, стремящегося к нулю при ,

то линейную часть называют вариацией функционала .

Если некоторая функция обеспечивает экстремум функционала , то вариации функционала для этой функции равна нулю .