Концами интервала. Уравнение Эйлера

Рассмотрим функционал в виде интеграла от функции , где

, , и - фиксированные.

Найти функцию , обеспечивающую экстремум функционала и удовлетворяющую граничным условиям: , .

Определим приращение функционала как , причем, функция дифференцируема по , а

;

Для малых вариаций функции и ее производной (, )

.

Интегрируем второе слагаемое по частям:

.

Поскольку в точках и функция задана своими граничными значениями (она не изменяется в этих точках), вариации функции в них равны нулю и первое слагаемое также будет равно нулю. Тогда вариация функционала .

Чтобы обеспечить экстремум функционала, функция должна быть такой, чтобы вариация .

Лемма: если интеграл и функция в общем случае не равна нулю на интервале , неравенство будет выполняться, если .

Применительно к вариации функционала при произвольно изменяющемся , будет равно нулю, если выражение .

- уравнение Эйлера

Решением приведенного уравнения Эйлера является функция , зависящая от двух констант, поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка. Она доставляет экстремум исходному функционалу и называется экстремалью. Константы и определяются из граничных условий , .

Уравнение Эйлера можно расписать как: т. к.

Уравнение Эйлера для функции, зависящей от множества переменных:

;

;

.

Поскольку не зависят друг от друга, вариация функционала будет равна сумме частных производных, умноженных на вариации собственно функций и их производных, и уравнение Эйлера переходит в систему уравнений: , .