2015-06-05
289
Рассмотрим функционал в виде интеграла от функции 
, где
, 
, 
и 
- фиксированные.
Найти функцию 
, обеспечивающую экстремум функционала и удовлетворяющую граничным условиям: 
, 
.
Определим приращение функционала как 
, причем, функция 
дифференцируема по 
, а
;
Для малых вариаций функции и ее производной (
, 
)
.
Интегрируем второе слагаемое по частям:
.
Поскольку в точках и функция задана своими граничными значениями (она не изменяется в этих точках), вариации функции в них равны нулю и первое слагаемое также будет равно нулю. Тогда вариация функционала 
.
Чтобы обеспечить экстремум функционала, функция должна быть такой, чтобы вариация 
.
Лемма: если интеграл 
и функция 
в общем случае не равна нулю на интервале 
, неравенство будет выполняться, если 
.
Применительно к вариации функционала при произвольно изменяющемся 
, 
будет равно нулю, если выражение 
.
- уравнение Эйлера
Решением приведенного уравнения Эйлера является функция 
, зависящая от двух констант, поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка. Она доставляет экстремум исходному функционалу и называется экстремалью. Константы 
и 
определяются из граничных условий , .
|
|
|
Уравнение Эйлера можно расписать как: 
т. к.
Уравнение Эйлера для функции, зависящей от множества переменных:
;
;
.
Поскольку 
не зависят друг от друга, вариация функционала будет равна сумме частных производных, умноженных на вариации собственно функций и их производных, и уравнение Эйлера переходит в систему уравнений: 
, 
.
