Рассмотрим функционал в виде интеграла от функции , где
, , и - фиксированные.
Найти функцию , обеспечивающую экстремум функционала и удовлетворяющую граничным условиям: , .
Определим приращение функционала как , причем, функция дифференцируема по , а
;
Для малых вариаций функции и ее производной (, )
.
Интегрируем второе слагаемое по частям:
.
Поскольку в точках и функция задана своими граничными значениями (она не изменяется в этих точках), вариации функции в них равны нулю и первое слагаемое также будет равно нулю. Тогда вариация функционала .
Чтобы обеспечить экстремум функционала, функция должна быть такой, чтобы вариация .
Лемма: если интеграл и функция в общем случае не равна нулю на интервале , неравенство будет выполняться, если .
Применительно к вариации функционала при произвольно изменяющемся , будет равно нулю, если выражение .
- уравнение Эйлера
Решением приведенного уравнения Эйлера является функция , зависящая от двух констант, поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка. Она доставляет экстремум исходному функционалу и называется экстремалью. Константы и определяются из граничных условий , .
|
|
Уравнение Эйлера можно расписать как: т. к.
Уравнение Эйлера для функции, зависящей от множества переменных:
;
;
.
Поскольку не зависят друг от друга, вариация функционала будет равна сумме частных производных, умноженных на вариации собственно функций и их производных, и уравнение Эйлера переходит в систему уравнений: , .