Синтез замкнутой системы максимального быстродействия

, ;

, ;

;

;

;

;

.

В соответствии с принципом максимума Понтрягина управляющее воздействие должно обеспечить в явном виде в каждый момент времени максимум функции Гамильтона.

.

Разделив второе уравнение системы на первое:

;

.

Поскольку постоянное на интервале, то для интервала постоянства будет иметь вид:

;

.

Фазовый портрет будет иметь вид:

х₂

u=-a u=+a

с₀ с₂ х₁

- скорость.

Задача системы управления заключается в переводе системы из некоторого начального состояния в начало координат (для этой задачи) за минимальное время. Причем в соответствии с теоремой о переключениях количество переключений не будет равно единице. Таким образом в соответствии с фазовым портретом устройство управления должно выбрать начальное управляющее воздействие (), которое заставит объект двигаться по фазовой траектории приближаться по к началу координат. При пересечении с фазовой траекторией, проходящей через начало координат, нужно переключать воздействие на противоположное (), чтобы координаты объекта изменялись по траектории, проходящей через начало координат. Участки фазовых траекторий, проходящие через конечную точку и направление в этой конечной точке называется линиями переключения. Для линии переключения, проходящей через начало координат:

;

, т.е. знак управления необходимо выбирать.

;

.

Нужно выбирать знак , чтобы скорость стремилась к нулю. Выбор знака управления производится следующим образом: если (1), определяемый текущими координатами находится слева от линии переключения, то управление надо брать положительным, если справа, то отрицательным.

;

;