Примеры

1. ;

2. ;

II. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную заменяют переменной по формуле , учитывая .

Теорема 3. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве . И пусть – множество значений функции , на котором определена функция . Тогда если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула замены переменной

► Формула справедлива, если после дифференцирования обеих ее частей получаются одинаковые выражения.

Учитывая, что – сложная функция, имеем

Продифференцировав правую часть данной формулы, получим

Таким образом, формула замены переменной в неопределенном интеграле справедлива. ◄

Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала. По определению дифференциала функции имеем . Переход от левой части этого равенства к правой называют «подведением» множителя под знак дифференциала.

Пусть требуется найти интеграл вида

Внесем в этом интеграле множитель под знак дифференциала, а затем выполним подстановку

Если интеграл – табличный, его вычисляют непосредственным интегрированием.

Пример.

III. Интегрирование по частям.Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 4. Пусть функции и – две дифференцируемые функции переменной на промежутке . И пусть функция имеет первообразную на этом промежутке, то есть существует интеграл . Тогда функция также имеет первообразную, то есть существует интеграл, причем справедлива формула интегрирования по частям:

► Пусть и – две дифференцируемые функции переменной . Тогда

Отсюда .

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем

Интеграл существует по условию, значит существует и интеграл , и имеет место формула . ◄

Замечание. Формулу интегрирования по частям можно записать в виде:

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

I. Интегралы вида , , . Здесь – многочлен степени , , относительно , . Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить и применить формулу интегрирования по частям раз.

II. Интегралы вида , , , , . Здесь – многочлен степени , , относительно . Данные интегралы вычисляются по частям, принимая за функцию, являющуюся множителем при .